184 11. Konvexe Vielkante und sphärische Vielecke 
Der Umfang eines konvexen Die Winkelsumme eines kon- 
sphärischen Vielecks ist kleiner als vexen sphärischen Vielecks ist grö- 
ein Hauptkreis. ßer als die eines ebenen von gleicher 
Seitenzahl. 
Von diesen beiden Sätzen ist derüber die Winkelsummeamleichtesten 
zu gewinnen. Zerlegt man das sphärische n-Eck von einer beliebigen 
Ecke aus durch Diagonalen in % — 2 Dreiecke, so ist in jedem der Drei- 
ecke die Summe der Winkel größer als zwei Rechte. Das Vieleck hat 
also eine Winkelsumme von mehr als 2(n—?) oder 2% -—4 Rechten. 
Die Polarisation des Satzes ist eine unerhebliche Übungsaufgabe. 
Man kann den Satz über den Umfang aber auch ohne Schwierigkeit 
selbständig beweisen. Er wird häufig in die Form gekleidet, daß die Summe 
der Seiten eines konvexen Vielkants (einer konvexen körperlichen Ecke) 
kleiner ist als 360° und dementsprechend stereometrisch bewiesen. Hier- 
bei bevorzugt man auffallenderweise ein etwas schwerfälliges Verfahren. 
Das „-Kant wird durch eine Ebene so geschnitten, daß als Schnitt- 
figur ein konvexes n-Eck entsteht, was immer möglich ist. Die Summe 
der Winkel in dem n-Eck beträgt 2% — 4 Rechte. Jedes einzelne 
Winkelfeld ist aber Seite eines Dreikants und kleiner als die Summe der 
beiden ihm zugesellten Seiten. Die Summe aller zugesellten Seitenpaare 
ist somit größer als 2% — 4 Rechte, woraus, mit Rücksicht auf die Winkel- 
summe im ebenen Dreieck, folgt, daß der Umfang des n-Kants nicht 
rier Rechte erreichen kann. 
Zu demselben Ergebnis gelangt man ohne Rechnung leicht durch 
folgende Überlegung. Wählt man irgend drei aufeinander folgende Seiten 
des gegebenen %-Kants aus und erweitert die erste und dritte, bis sie 
sich schneiden, so kann man auf der Schnittgeraden immer einen vom 
Scheitel ausgehenden Halbstrahl als neue Kante so wählen, daß die zweite 
Seite verschwindet. Dadurch erhält man eine neue konvexe Ecke von 
n—1 Seiten. Diese hat einen größeren Umfang als die ursprüngliche, 
da im Dreikant die Summe zweier Seiten größer ist als die dritte. Setzt 
man das Verfahren schrittweise fort, so gelangt man schließlich zu einem 
Dreikant, und dessen Umfang ist immer noch kleiner als 360°. 
Der letzte Beweis gestaltet sich sehr anschaulich, wenn man ihn 
im Sinne der Sphärik führt. Man wählt drei aufeinander folgende Seiten 
eines konvexen sphärischen n-Ecks aus und verlängert die erste und 
dritte bis zu ihren beiden Schnittpunkten. Einer von diesen bestimmt 
dann mit den Endpunkten der zweiten Seite ein Dreieck, das außerhalb 
des n-KEcks liegt. Fügt man ihn zu den übrigen %—2 Ecken hinzu, 
so erhält man ein konvexes (n — 1)-Eck, dessen Umfang größer ist als 
der des gegebenen n-Ecks. Die Fortsetzung des Verfahrens führt schließ- 
lich zu einem Dreieck; wenn man will, auch zu einem sphärischen Winkel- 
felde (Zweieck), dessen Umfang dem Hauptkreise gleichkommt. ;