204 8 13. Die wichtigsten Sätze über den Rauminhalt der Körper 
Dieser Lehrsatz kann benutzt werden, um den Rauminhalt eines 
Kugelausschnittes zu bestimmen. Auf einem Kreise (O)r nehmen wir 
zwei Punkte Q und 4 an, fällen von A die Senkrechte AC auf 0Q und 
irehen die Figur um 0Q. Dann beschreibt der Bogen AQ eine Kalotte, 
die den Punkt Q zum sphärischen Mittelpunkte hat und deren Höhe h 
gleich QC ist. Der Kreisausschnitt 0Q4 beschreibt einen Kugelausschnitt, 
der von der angewebenen Kalotte und dem durch die Umdrehung des 
Radius O4 erzeugten Kegelmantel begrenzt wird. Um den Inhalt dieses 
Kugelausschnittes zu bestimmen, teilt man den Bogen QA in n gleiche 
Teile in den Punkten A,, 4;, ... An—ı und Jäßt 4, mit 4, 4, mit Q 
zusammenfallen. Die Fußpunkte der Senkrechten, die von den Punkten 
Ay, Az, ... An—ı auf 0OQ gefällt werden können, seien der Reihe nach 
O1, Car... On—1 Zudem werde CC, =hy, CC =) +. OCn—ı Q= An 
zesetzt, so daß h, + ha ++ +h,=h ist. Alle Sehnen Au—ı4“” (für 
u=1,2,...%) haben vom Mittelpunkte O dieselbe Entfernung 02. Wie 
wir in Nr. 8 bewiesen haben, ist die durch die Umdrehung der Strecke 
Au—ı 4u erzeugte Fläche gleich 2x 0» Ay. Somit hat der Körper, den 
das Dreieck 04„u— 14 bei seiner Umdrehung um OQ erzeugt, einen 
Rauminhalt, der gleich Zn On? hist. Der Rauminhalt des Körpers, den 
das Vieleck 044,42... An—ı Q beschreibt, ist demnach gleich = On A. 
Bei unbegrenzter Vergrößerung von % geht aber 9, immer mehr in 7, das 
Vieleek 0444; ... An—ı Q immer mehr in den Kreisausschnitt 0AÄQ 
and der Umdrehungskörper in den Kugelsektor über. Demnach ist der 
[nhalt eines Kegelausschnittes gleich er y?h, wor den Radius der Kugel 
and h die Höhe der zugehörigen Kalotte darstellt. Für h = 2r geht der 
Kugelausschnitt in die Vollkugel über. 
Vom Kugelausschnitt gelangt man zum zugehörigen Kugelabschnitt, 
indem man einen gewissen Kegel subtrahiert oder addiert. Die Grund- 
Aäche dieses Kegels ist gleich zh (Zr — h), die Höhe gleich > — h oder 
zleich h — 7, je nachdem 7 > h oder r<h ist. Im ersten Falle wird 
jer Kegel subtrahiert, im zweiten addiert. Demnach ist der Inhalt eines 
Kugelabschnittes gleich: 
x yr?h — 5h(Qr —_Mn(r- MH= Zah? (3r — I. 
10. Bemerkungen über die verschiedenen Methoden. Wie wir in der letzten 
Nummer gesehen haben, kann das Cavalierische Prinzip beim Unterricht entbehrt 
werden. Auch sprechen sich viele Lehrer, und vielfach gerade recht tüchtige, 
yegen seine Benutzung aus. Diesen Lehrern möchten wir den Weg empfehlen, 
den wir in Nr. 9 angegeben haben. Wir selbst sind anderer Ansicht und glauben 
die Methoden bevorzugen zu sollen, die wir in den Nummern 2—58 dargelegt haben. 
Bei der Kürze der Zeıt, die dem stereometrischen Unterricht an unseren Schulen, 
namentlich am humanistischen Gymnasium , gewidmet werden kann, stehen für