Möbius’ Art den Kosinus zu definieren ..9 
Die Funktion g (g, h) hängt nur von dem Winkel ab, den die posi- 
tiven Richtungen der Geraden g und h miteinander bilden; sie wird als 
Jer Kosinus dieses Winkels bezeichnet. 
Sind A und B zwei beliebige Punkte in der Geraden g, 4, und BE, 
lie Fußpunkte der von ihnen auf die Gerade h gefällten Senkrechten, 
and sind in die Maßzahlen der Strecken AB und A,B, die durch die 
Richtung bestimmten Vorzeichen aufgenommen, so gilt die Gleichung: 
A,B, = AB. cos (g, h). 
Beim Beweise dieser Formel haben wir die Geraden g, h einmal 
durch ein kongruentes Geradenpaar und dann durch gleichgerichtete 
Geraden ersetzt. Dagegen haben wir von dem zugeordneten Winkelfelde 
ganz absehen können. Die Gleichung (1) besitzt daher volle Allgemein- 
heit und kann benutzt werden, um die Kosinus beliebiger Winkel zu 
definieren. 
Mit den Geraden g, h verbinden wir zwei von demselben Punkte 
ausgehende Halbstrahlen 0G, OH, von denen der erste die Richtung g, 
ler zweite.die Richtung h hat. Der Ebene GOH legen wir einen be- 
stimmten Sinn willkürlich bei und bezeichnen den Winkel GOH als 
positiv oder negativ, je nachdem die Drehung, durch die der Schenkel 
0G in den Schenkel OH übergeführt wird, positiv oder negativ ist, 
ad. h. je nachdem sie im Sinne der Ebene oder diesem entgegengesetzt 
erfolgt. Da es sich um rein theoretische Untersuchungen handelt, wollen 
wir das natürliche Winkelmaß benutzen (I. 8 19, 4, 5. 344). Indem wir 
Jen Sinn der Ebene beibehalten, gehen aus einem festen Winkel GOH 
alle anderen Winkel, für die OG erster, OH zweiter Schenkel ist, da- 
Jurch hervor, daß man zu ihm beliebige, positive oder negative Viel- 
"che von 2x addiert. Hiernach führt die Gleichung (1) auf die Be- 
ziehung: 
/2) cos (« + 2kr) = cos «, 
wenn wir unter k eine beliebige positive oder negative ganze Zahl ver- 
stehen. 
Indem wir den Sinn der Ebene G OH ändern, können wir einen 
Winkel « durch den Winkel 2x — « ersetzen. Daraus ergibt sich unter 
Berücksichtigung von (2) die Gleichung: 
(3) cos (— &) = COS d&, 
die wir auch aus dem Satze herleiten können, daß die Geradenpaare 
g, h und h, g zueinander kongruent sind. 
Ist OH' der entgegengesetzte Halbstrahl zu OH, so können wir 
den Winkel « + x dadurch erhalten, daß wir erst die den Winkel « er- 
zeugende Drehung vornehmen und dann den Halbstrahl OH durch eine 
im positiven Sinne erfolgende halbe Umdrehung in OH’ überführen. 
Jetzt müssen wir aber der Geraden h den entgegengesetzten Sinn bei- 
KA 
a 
& 
SE 
A 
VE 
ea 
„Een, 
BA 
WE 
TE a 
ne 
CN 
En 
CAR 
VE 
A: ar 
BE 
A 
Sr 
AN 
Fl 
Be 
A 
— 
8 
a 
+ 
BAR 
X 
ar 
Ma 
Pa