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Behandlung des Cavalierischen Prinzips im Unterricht 225 
die Lehre vom Rauminhalt der Körper nur wenige Stunden zur Verfügung. Will 
man damit auskommen, so kann man auf das Prinzip kaum verzichten. Zudem 
sritt seine Brauchbarkeit bei der Kugel in erhöhtem Maße hervor. Der 
archimedische Lehrsatz verbindet die Kugel mit dem umgeschriebenen Zylinder 
ınd dem Doppelkegel, der auf den Grundflächen des Zylinders steht und den 
Mittelpunkt der Kugel zum Scheitel hat, Dieser Zusammenhang, der ursprünglich 
wohl nur aus den Formeln hergeleitet worden ist, tritt unter Benutzung des 
Javalierischen Prinzips auch geometrisch hervor. Er besteht aber, wie das Prinzip 
ehrt, nicht nur für die drei Körper selbst, sondern auch für alle Teile, die aus 
hnen durch irgend zwei zu den Grundflächen des Zylinders parallele Ebenen aus- 
zeschnitten werden. Der schöne Satz, der daraus hervorgeht, reicht für sich allein 
ain, die Anwendung des Prinzips zu rechtfertigen. Drittens kann das Prinzip auch 
für manche andere Untersuchung, z. B. für die Bestimmung des Schwerpunktes einer 
“läche oder eines Körpers, nutzbar gemacht werden. Endlich dürfen wir nicht ver- 
zessen, daß das Prinzip in der Entwicklung der Mathematik eine große Rolle ge- 
spielt hat. Wenn es auch die Alten noch nicht klar ausgesprochen haben, so haben 
zie es doch bereits zur Auffindung von Lehrsätzen benutzt. Die scharfe Formulierung 
lurch Carvalieri stellt einen wichtigen Schritt zur Entdeckung der Integralrechnung 
lar. Dementsprechend ist auch heute noch das Prinzip bei richtiger Behandlung 
wohl geeignet, den Blick des Schülers zu erweitern. 
Dennoch können wir uns nicht mit der Art und Weise einverstanden erklären, 
ın der das Prinzip in den Lehrbüchern behandelt wird. Zuweilen wird es geradezu 
len Axiomen beigezählt. Man erklärt, es bedürfe keines Beweises; ja, man stellt 
lie Behauptung auf, in wissenschaftlicher Beziehung verdiene seine axiomatische 
Anwendung den Vorzug vor den gebräuchlichen Methoden der Planimetrie. Daß 
liese Ansicht falsch ist, liegt auf der Hand. Das Prinzip als selbstverständlich 
hinzustellen, mag bequem sein; wissenschaftlich ist es nicht. Da es bewiesen werden 
zann, gehört es nicht zu den Axiomen. Demnach kommt diese Methode darauf 
oinaus, ganz auf den Beweis zu verzichten und eine unbewiesene Behauptung zur 
irundlage für einen wichtigen Teil der Stereometrie zu machen. 
Andere Lehrbücher glauben dadurch genug zu tun, daß sie das Prinzip durch 
3inige Worte erläutern. Ein kurzer Satz, dessen Sinn vielfach kaum entziffert 
werden kann, soll dem Schüler das Verständnis erschließen und den Beweis ersetzen. 
Auch die Lehrbücher der Integralrechnung begnügen sich mit einigen dunkeln Be- 
merkungen, in denen die Sachlage eher verschleiert als klargelegt wird. Wir 
zönnen unmöglich die verschiedenen derartigen Versuche besprechen und möchten 
laher nur auf ein einziges Beispiel hinweisen, das wenigstens von dem ernstlichen 
Willen zeugt, das Verständnis zu ermöglichen. Nachdem die beiden Körper zwischen 
„wei parallele Ebenen gelegt sind und die Annahme gemacht ist, daß jede dritte zu den 
zegebenen parallele Ebene aus ihnen gleiche Flächen ausschneidet, heißt es: „Man 
zann beide Körper durch parallele Ebenen in lauter einander entsprechende Schichten 
zerlegen und jede Schicht durch eine andere ersetzen, die auf der größeren Grund- 
läche der Schicht steht, aber die Gestalt eines geraden Prismas hat. Dann wird 
jeder der beiden Körper durch einen stufenförmig gebauten Körper ersetzt, und 
liese Körper, die an Stelle des eigentlich betrachteten Körpers getreten sind, haben 
>ffenbar gleiches Volumen. Jeder derselben ist größer als der Körper, den er ersetzt, 
aber dieser Überschuß kann durch Vermehrung der Stufenzahl beliebig verringert 
werden.‘ Für die Richtigkeit der letzten Behauptung wird auf die beigefügte 
figur verwiesen, ohne daß ein Beweis versucht würde. Mit der „Vermehrung der 
Stufenzahl‘ wird aber auch die Anzahl der einzelnen „Überschüsse“ vergrößert. 
Die Figur kann höchstens zeigen, daß die einzelnen „Überschüsse“ verkleinert 
werden: es fehlt also noch der Nachweis, daß auch ihre Summe beliebig klein 
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