2926 & 13. Die wichtigsten Sätze über den Rauminhalt der Körper 
yemacht werden kann. Zudem setzt die ganze Erwägung voraus, daß das gerade 
Prisma, das über der größeren Grundfläche einer Schicht errichtet wird, größer 
ist. als die entsprechende Schicht, Dadurch legt man den beiden miteinander ver- 
glichenen Körpern die besondere Eigenschaft bei, die wir in Nr. 5 vorausgesetzt 
haben und die nur in seltenen Fällen den beiden Körpern zukommt. Die ganze 
Erwägung gilt weder für schiefe Prismen noch für Pyramiden, deren Höhen in 
ihrem Äußeren liegen. Derartige „ Erläuterungen‘ können nicht als befriedigend 
angesehen werden; sie wirken geradezu nachteilig, da sie den Schüler eher irre- 
führen als aufklären. 
Einige wenige Lehrbücher wollen das Prinzip in voller Allgemeinheit be- 
weisen. Ihre Darlegungen sind aber so unklar, daß sie von den Schülern nicht ver- 
standen werden können. Wir selbst wollen in $15 auf das Prinzip in seiner AN- 
zemeinheit eingehen. Dabei dürfte sich herausstellen, daß der allgemeine Beweis 
lie Kräfte der Schüler übersteigt. Das scheinen die Verfasser von Lehrbüchern 
jer letzten Art auch vielfach selbst zu fühlen. Wir haben nämlich die Erfahrung 
yemacht, daß Lehrer, die in ihren Lehrbüchern Beweise für das Prinzip mitteilen, 
a8 beim Unterricht rein axiomatisch anwenden. 
Aus diesen Gründen schlagen wir einen Mittelweg ein, indem wir das Prinzip 
aur unter einer gewissen Beschränkung anwenden, die es uns ermöglicht, einen 
strengen Beweis zu erbringen. Dabei kommen wir freilich ohne einen Grenzprozeß 
nicht aus; aber dieser ist ebenso einfach wie die Betrachtung, die bei der archi- 
medischen Kreismessung angewandt werden muß. Dabei haben wir für die Be- 
handlung der Prismen und der Pyramiden zwei verschiedene Wege angegeben, 
Unsere erste Methode (Nr. 3 und 4) setzt voraus, daß der Inhalt eines schiefen 
Prismas ohne Anwendung des Prinzips, nämlich durch bloße Ergänzungsgleichheit, 
hergeleitet wird, Hierbei kommen wir anfangs mit endlichen Prozessen aus und 
schieben. die Einführung des Grenzprozesses 80 weit hinaus, als es der bekannte 
Dehnsche Satz gestattet (vgl. I $ 7, 10). Auch wird es hierdurch möglich, das 
Cavalierische Prinzip unter einer etwas allgemeineren Voraussetzung zu beweisen. 
Aus diesen Gründen glauben wir diesen Weg an erster Stelle empfehlen zu sollen, 
Indessen hat auch die zweite Methode, die wir in Nr. 5 dargelegt haben, ihre 
Vorzüge. Sie setzt das Cavalierische Prinzip nur in einer Beschränkung voraus, bei 
der man für den Beweis mit geraden Prismen ausreicht. Dann muß man freilich 
beim Beweise des Satzes, daß Pyramiden von gleicher Grundfläche und Höhe ein- 
ander gleich sind, verschiedene Fälle unterscheiden. Aber der Weg wird im ganzen 
beträchtlich gekürzt. Nur muß man den unendlichen Prozeß an die Spitze der 
yanzen Untersuchung stellen. Die Schüler erfahren also gar nicht, daß man beim 
Vergleiche der Prismen mit der Ergünzungsgleichheit auskommt. 
Die Art und Weise, wie wir in Nr. 2 den Inhalt des schiefen Prismas her- 
geleitet haben, weicht von der gebräuchlichen ab. Soweit die uns bekannten Lehr- 
sücher nicht auch beim Prisma das Cavalierische Prinzip benutzen, gehen sie von dem 
Satze aus, daß Spate (Parallelepipeda, Parallelflächner) von derselben. Grundfläche 
and gleicher Höhe im Rauminhalt übereinstimmen. Wenn die Spate 4BCD:axßy0 
and ABCD:«'ß'y'd' die Grundfläche ABCD gemein haben, während die zweiten 
Grundflächen xßyd und «'ß'y'd' derselben Ebene angehören, so nimm$ man einen 
Spat ABCD: x" ß'"y''d'" hinzu, dessen zweite Grundfläche u” ß'y' 8" die Eigen- 
schaft hat, daß je die vier Punkte «, ß. «"', ß'' und 0, 7, Ö"', y'', sowie «', Ö', u", 80" 
and ß', y', By" in gerader Linie liegen. Wenn hierbei die Punkte ß, x" zwischen 
x und ß” liegen, 80 zieht man von dem Prisma ABB" «x: DCy"0 einmal das Prisma 
Bßß'":Cyy'" und dann das Prisma Aaa': Ddo" ab. Da die abgezogenen Teile 
kongruent sind, geht hieraus die Inhaltsgleichheit der Spate ABßB«:DCyö 
ınd ABB'"a«'': DCy''8'" oder der Spate ABCD:«ßyod und ABCD: "By" 0"