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Behandlung des Inhaltsmaßes in den Lehrbüchern ; 9297 
hervor, In gleicher Weise zeigt man, daß die Spate ABCD: a'ß’'y'd' und 
ABCD:«''ß'"4'"0" gleichen Inhalt haben. Dasselbe gilt also auch von den Spaten 
1BCD:a«ßyd und ABCD:«'ß'y'0' s 
Mit der Vergleichung von Spaten kommt man aber nicht aus; man bedarf 
zielmehr noch des Satzes, daß jeder Spat durch eine Diagonulebene in zwei inhalts- 
zleiche dreiseitige Prismen zerlegt wird, Zu dem Ende muß man noch den Satz 
)eifügen: Prismen von kongruentem Normalschnitt und gleicher Seitenkante haben 
zleichen Inhalt. Da man aber auch umgekehrt jedes dreiseitige Prisma durch 
dinzufügung eines inhaltsgleichen dreiseitigen Prismas zu einem Spate ergänzen 
zann, so haben dreiseitige Prismen von kongruenter Grundfläche und gleicher Höhe 
zleichen Inhalt. Um jetzt ganz allgemein zu beweisen, daß zwei Prismen von gleicher 
jrundfläche und gleicher Höhe im Inhalt übereinstimmen, braucht man nur die 
irundflächen in paarweise kongruente Dreiecke zu zerlegen. 
Dabei wird aber die Theorie auf zwei ganz verschiedene Sätze gegründet, 
während wir in Nr. 2 einen einzigen Satz zur Grundlage der ganzen Untersuchung 
nachen konnten, Außerdem befriedigt es weniger, daß bei dem zuletzt beschriebenen 
Wege von dem Satze über Prismen von kongruentem Normalschnitt und gleicher 
Länge, dessen Beweis durchaus nicht einfach ist, nur eine ganz spezielle Anwendung 
zemacht wird, Allerdings mußten wir in Nr. 2 den Satz über die Projektion einer 
»enen Fläche hinzunehmen. Indessen ist dieser Satz an sich so wichtig, daß er 
uch in die meisten neueren Lehrbücher aufgenommen ist, obwohl sie ihn für den 
hier angegebenen Zweck gar nicht gebrauchen. ?) 
Der Leser wird es billigen, daß wir auf die Art und Weise, in der Euklid 
len Rauminhalt einer Pyramide ermittelt, nicht eingegangen sind. Im allgemeinen 
verdienen seine Methoden schon ihres historischen Interesses wegen auch heute 
noch beachtet zu werden. Indessen ist der Weg, den er bei der Messung der Pyramide 
Ainschlägt, so lästig, daß er mit Recht allgemein verlassen ist. Wir bemerken nur, 
laß Euklid bei der Untersuchung des Prismas von der Ergänzungsgleichheit Ge- 
orauch macht und bei der Behandlung der Pyramide eine Grenzbetrachtung einführt. 
Die zweite Formel für den Inhalt des Mantels eines Kegelstumpfes wird in allen 
Lehrbüchern benutzt, in denen der Inhalt einer Kugelzone auf dem in Nr. 8 mit- 
geteilten Wege hergeleitet wird. Nur schiebt man vielfach den Beweis in die Her- 
'eitung der Formel für die Kugelzone ein, ohne zu bedenken, daß man hierdurch 
lem Schüler die Auffassung erschwert. Aber auch an sich steht die zweite Formel 
-‚ür den Mantel eines abgestumpften Kegels der ersten an Wichtigkeit nicht nach: 
lie erste muß bei wirklichen Messungen im allgemeinen bevorzugt werden, die 
zweite ist für manche Folgerungen weit geeigneter (vgl. Nr. 9). 
In vielen Lehrbüchern wird die Fläche einer Kugelzone nicht, wie wir getan 
1aben, direkt hergeleitet, sondern aus dem Rauminhalt eines Kugelausschnittes er- 
1) Die Methode, die wir in I 8 5, 2 (S. 77) angewandt haben, um zu zeigen, 
laß zwei Parallelogramme von gleicher Grundlinie und Höhe in paarweise kon- 
zruente Teile zerlegt werden können, führt hier zu dem Satze, daß Spate von kon- 
zruenter Grundfläche und gleicher Höhe zerlegungsgleich sind. * 
2) Statt zwei Spate von kongruenter Grundfläche und gleicher Höhe mit- 
»nander zu vergleichen, setzt man zuweilen nach dem Vorgange von J.H. T.Müller 
zur voraus, daß die Spate nur inhaltsgleiche Grundflächen haben. Dann gelingt es 
reilich durch geschickte Zusammenlegung der Grundflächen (vgl. Baltzers Elemente 
I S. 224), den Satz rein geometrisch zu beweisen. Indessen wird dadurch der Be- 
weis ziemlich kompliziert. Da es aber für die Anwendungen gleichgültig ist, ob 
nan die Grundflächen der Spate als kongruent oder als inhaltsgleich voraussetzen 
will, so empfiehlt es sich, falls man diesen Satz über Spate hinzunehmen will, ihn 
auf kongruente Grundflächen zu beschränken. 
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