228 814. Weitere Untersuchungen über d. Rauminhalt u. d. Oberfläche von Körpern 
schlossen. Nachdem man auf dem in Nr. 6 angegebenen Wege die Formel für den 
‘nhalt eines Kugelausschnittes bewiesen hat, zerlegt man die zugehörige Kalotte 
in eine so große Anzahl von Teilen, daß „jeder einzelne als eben angesehen werden 
zann‘“, und macht jeden Teil zur Grundfläche einer Pyramide, deren Seheitel im 
Mittelpunkte der Kugel liegt. Wir möchten davon absehen, daß der Grenzüber- 
gang, der hier vorgenommen werden soll, durchaus nicht einfach ist. Wir müssen 
zber auf einen anderen Mangel des Beweises hinweisen. Den Ausgangspunkt der 
Untersuchung bildet die Formel für den Inhalt eines Kugelabschnittes, die mit 
Hilfe des Cavalierischen Prinzips bewiesen wird. Aus dieser wird durch Rechnung 
Jie Formel für den Inhalt eines Kugelausschnittes hergeleitet; diese führt dann 
durch die angedeutete Betrachtung auf die Formel für die Kalotte, aus der die 
Formel für eine beliebige Zone wieder durch Rechnung hervorgeht. Während aber 
die Formel für den Kugelabschnitt recht kompliziert ist, gelangt man zu einer über- 
aus einfachen Formel für die Zone. Einem derartigen Wege haftet der Charakter 
des Zufälligen an. Die Herleitung kann nicht befriedigen, weil sie nicht als natür- 
lich angesehen werden kann, Dagegen zeichnet sich der in Nr. 8 angegebene Be- 
weis durch Einfachheit und Natürlichkeit aus. 
Dabei haben wir es nicht für notwendig erachtet, die Kugelzone zwischen zwei 
Ärenzen einzuschließen, von denen die eine größer und die andere kleiner ist als 
die Zone. Wir werden das im nächsten Paragraphen noch nachholen, glauben aber 
nicht, daß es für die Zwecke der Schule notwendig sei. Gleichwie man allgemein 
den Kreis als die Grenzgestalt eines eingeschriebenen regelmäßigen Vielecks von 
anbegrenzt wachsender Seitenzahl ansieht (I819, 3 S. 339 £f.), ist man auch be- 
rechtigt, die Kugelzone als Grenzgestalt einer Fläche anzusehen, die durch Um- 
drehung eines Streckenzuges von der angegebenen Art entsteht. 
Um diesen Streckenzug zu erhalten, haben wir den entsprechenden Kreisbogen 
in eine beliebige Anzahl von gleichen Teilen zerlegt, obwohl diese Teilung mit 
Zirkel und Lineal nur dann ausgeführt werden kann, wenn die Anzahl eine bloße 
Potenz von zwei ist. Dazu sind wir berechtigt, weil es beim Beweise nur auf die 
Möglichkeit der Teilung und nicht auf die Hilfsmittel ankommt, deren man bei 
Jer wirklichen Ausführung bedarf. Wir können es auch nicht billigen, wenn 
Martus im zweiten Teile seiner Raumlehre (S. 103) den zweiten Endpunkt des 
Bogens unbestimmt läßt, indem er „eine kurze Strecke als Sehne hintereinander 
beliebig oft, n-mal, in den Halbkreis einträgt‘“. Hierbei wird zwar die Teilung des 
Bogens ganz vermieden. Man erkennt aber nicht, daß man auf diese Weise zu 
jedem beliebigen Bogen gelangt. Um sicher zu sein, daß das gewonnene Resultat 
allgemeine Gültigkeit besitzt, muß man von einem ganz beliebigen Bogen ausgehen. 
Dann kann man aber den Streckenzug nur dadurch erhalten, daß man den Bogen 
in eine beliebige Auzahl gleicher Teile zerlegt. Will man nur solche Teilungen zu- 
jassen, die mit Hilfe von Zirkel und Lineal ausgeführt werden können, so setzt man 
lie Anzahl der Teile als eine Potenz von zwei voraus. 
8 14. Weitere Untersuchungen über den Rauminhalt 
und die Oberfläche von Körpern. 
1. Zerlegungsgleichheit von Prismen. Wir haben in $ 13, 2 
bewiesen, daß Prismen von kongruentem Normalschnitt und gleicher 
Jeitenkante ergänzungsgleich sind. Dieser Satz führt zu der Folgerung: 
Inhaltsgleiche Prismen sind stets ergänzungsgleich. Darauf einzugehen, 
lohnt sich aber nicht, da inhaltsgleiche Prismen stets zerlegungsgleich