234 5814. Weitere Untersuchungen über d. Rauminhalt u. d. Oberfläche von Körpern 
Der aufgestellte Satz behauptet aber auch nur die Möglichkeit einer derartigen Zer- 
legung, ohne die Hilfsmittel anzugeben, die zur Ausführung nötig sind, Indem 
man diesen Umstand nicht immer beachtet hat, ist zuweilen die Behauptung auf- 
gestellt worden, im allgemeinen sei ein Prisma mit einem Würfel nicht zerlegungs- 
gleich. Mit gleichem Rechte könnte man sagen, im allgemeinen gübe es keinen Winkel, 
der dem dritten Teile eines gegebenen Winkels gleich ist. Die Unmöglichkeit, ein 
3ebilde mit elementaren Hilfsmitteln zu konstruieren, zieht keineswegs die Nicht- 
Zxistenz des Gebildes nach sich. 
Daß es im allgemeinen zu einer Pyramide kein zerlegungsgleiches Prisma gibt 
ınd daß zwei inhaltsgleiche Pyramiden im allgemeinen nicht zerlegungsgleich sind, 
aat Dehn bewiesen (vgl. die in I 87, 118. 145 angegebene Literatur). Es sind nur 
einzelne Fälle bekannt, in denen eine Pyramide sich durch passende Anordnung 
ihrer Teile zu einem Prisma zusammensetzen läßt. Einige interessante Beispiele 
bat Vogt im Programm des Friedrichs- Gymnasium zu Breslau (1904) zusammen- 
gestellt. Wir glauben hierauf schon aus dem Grunde nicht eingehen zu sollen, weil 
as bisher nicht gelungen ist, die allgemeinen Bedingungen für eine derartige Möglich- 
keit aufzustellen. 
2. Das Prismatoid. Nachdem .wir im vorigen Paragraphen den 
[nhalt der Pyramide auf verschiedene Weise hergeleitet haben, brauchen 
wir darauf nicht nochmals einzugehen. Wir wollen daher jetzt einen 
Körper behandeln, den Wittstein in die Elemente eingeführt und als 
Prismatoid bezeichnet hat. 
Wenn zwei beliebige Polygone in parallelen Ebenen liegen, so können 
wir jede Kante eines jeden der beiden Polygone zur Grundlinie eines 
Dreiecks nehmen, dessen dritter Eckpunkt dem anderen Polygon als 
Eckpunkt angehört. Damit die beiden gegebenen Polygone, die Grund- 
Aüchen, von denen das eine m und das andere n Kcken haben möge, 
sich mit den m + % hinzugenommenen Dreiecken, den Seitenflächen, zu 
ainem Polyeder vereinigen, muß jede Kante einer Seitenfläche, die nicht 
in einer Grundfläche liegt, noch einer zweiten Seitenfläche angehören. 
Daher ist auch die Anzahl der Seitenkanten gleich m +12. Zwei Seiten- 
flächen, die in einer Kante zusammenstoßen, sowie zwei Seitenkanten, 
Jie einen Endpunkt gemein haben, sollen als zusammenhängend oder 
aufeinander folgend betrachtet werden. Diese Festsetzung ermöglicht 
es, sowohl die Seitendreiecke als auch die Seitenkanten in eine bestimmte 
Folge zu bringen. So möge die Seitenfläche A, die Seitenkanten /, und A, 
haben. Die Kante 4% gehört noch einem bestimmten Dreieck 4, an, das 
die weitere Kante k; hat. Allgemein soll das Dreieck 4, die Seitenkanten 
k, und k,+1 haben, und in der Kante k, sollen die Dreiecke A,_1 und 4, 
zusammentreffen. 
Jedes Prisma und jeder Pyramidenstumpf kann als Prismatoid aufgefaßt werden; 
man braucht nur jede Seitenfläche durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zu zer- 
‚egen, um als Seitenflächen lauter Dreiecke der angegebenen Art zu erhalten. Wenn 
die eine Grundfläche eines Prismatoids in einen Punkt zusammenschrumpft, so 
yeht das Prismatoid in eine Pyramide über. Auch eine einzelne Strecke kann 
Grundfläche eines Prismatoids sein; nur muß sie zweimal gerechnet werden. Wenn 
z. B. die Strecke A'B'’ der Ebene des Dreiecks ABC parallel ist. so kann man