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Das Prismatoid 235 
wa die Dreiecke A'B'A, B'A'C, A'AB, A'BC, B'CA zu Seitenflächen 
„ählen und diese mit dem Dreieck ABC zu einem Polyeder vereinigen. 
Der Inhalt 7 eines Prismatoids wird durch seine Höhe h (den Ab- 
stand der Grundflächen), die Grundflächen I” und I” und den Mittel- 
schnitt M bestimmt. Dabei verstehen wir unter dem Mittelschnitt 
den Schnitt mit der Ebene, die von den beiden Grundflächen gleiche 
Entfernung hat, Es besteht, wie Wittstein bewiesen hat, die Gleichung: 
7 = AMT +TI' + 4M). 
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Den Beweis wollen wir auf den Fall beschränken, daß die Grund- 
jichen und der Mittelschnitt konvexe Polygone sind. Indem wir einen 
Pankt Q hinzunehmen, der dem Innern des Mittelschnittes angehört, 
können wir das Prismatoid in lauter Pyramiden zerlegen, die sämtlich 
in Q ihren Scheitel haben und von denen jede eine Grenzfläche des Prisma- 
toids zur Grundfläche hat. Wir betrachten. zuerst die dreiseitigen 
Pyramiden, die über den Seitenflächen des Prismatoids stehen. Es sei 
4 BA eine Seitenfläche, die Seite 4 B eine Kante der einen Grundfläche, 
jer Punkt A' ein Eckpunkt auf der anderen Grundfläche. Die Strecken 
A A', BA' mögen in «, ß halbiert werden. Dann ist das Dreieck A'’AB 
Jas Vierfache des Dreiecks A'«ß; also ist auch das Tetraeder QA'4B 
‚iermal so groß als das Tetraeder QA'«ß. Indem wir aber im letzten 
Tetraeder den Punkt A' als Spitze auffassen, wird die Höhe gleich Sh 
and die Grundfläche Qxß ein Teil des Mittelschnittes. Der Inhalt der 
Pyramide QA'A4B wird gleich dem vierfachen Produkte aus <h in den 
inhalt des Dreiecks Quaß. 
Jetzt gehen wir vom Dreieck ABA' zum folgenden Seitendreieck 
ınd dann der Reihe nach.zu allen Seitenflächen des Prismatoids über. 
Dann schließen sich an die Seite «ß des Mittelschnittes in stetiger Folge 
die übrigen Seiten des Mittelschnittes und an das Dreieck Q«ß alle 
anderen Dreiecke an, in die der Mittelschnitt durch die vom Punkte Q 
aus nach seinen Eckpunkten gezogenen Strecken zerfällt. Die Summe 
aller derartigen Dreiecke liefert aber den Mittelschnitt. Daher ist die 
3umme der über den Seitenflächen errichteten Pyramiden das Vierfache 
ainer Pyramide, die den Mittelschnitt zur Grundfläche und die halbe 
Höhe des Prismatoids zur Höhe hat. Hierzu treten die beiden Pyramiden, 
Jie über den Grundflächen des Prismatoids errichtet sind und in Q ihren 
Scheitel haben. Demnach wird der Rauminhalt durch die obige Formel 
largestellt. 
Da man durch jede von zwei Gegenkanten eines Tetraeders eine 
zur anderen parallele Ebene legen kann, läßt sich das Tetraeder als ein 
Prismatoid auffassen, dessen Grundflächen durch das gewählte Kanten- 
baar ersetzt werden, während der Mittelschnitt die Mitten der vier anderen