236 814. Weitere Untersuchungen über d. Rauminhalt u. d. Oberfläche von Körpern 
Kanten zu Eckpunkten hat. Demnach ist der Mittelschnitt ein Parallelo- 
zramm, das aus den Hälften der beiden Gegenkanten unter Beibehaltung 
hrer Richtung konstruiert werden kann. Setzen wir den Abstand der 
beiden Geraden AB, CD gleich a, so ist hiernach das Volumen V des 
Tetraeders ABCD: 
(a) T = La .AB-CD- sin (4B. CD). 
Demnach verhalten sich alle Tetraeder, deren Eckpunkte auf zwei 
‘esten windschiefen Geraden liegen, wie die Produkte der in diesen Geraden 
anthaltenen Kanten. Wenn die Punkte 4, B, A’, B' in einer Geraden p 
and die Punkte C, D, C', D' in einer Geraden g liegen, so verhalten sich 
lie Tetraeder ABCD und 4'B'C'D' wie die Produkte 4B-CD und 
A'B'.C'D'. Speziell ändert ein Tetraeder seinen Inhalt nicht, wenn 
man jede von zwei Gegenkanten unter Beibehaltung der Länge in einer 
yeraden Linie verschiebt. 
Die letzte Formel für den Inhalt eines Tetraeders kann man auf manche andere 
Weise herleiten. Gibt man, ausgehend vom Tetraeder ABCD, der Strecke BE 
zleiche Länge und Richtung mit CD und der Strecke DF die Länge und Richtung 
von BA, so ist das Tetraeder ABCD der dritte Teil des Prismas ABE:FCD. 
Daraus geht die obige Formel hervor. Man kann auch durch jede Kante eines 
Fetraeders die zur Gegenkante parallele Ebene legen und das Tetraeder mit dem 
auf diese Weise erhaltenen Spat vergleichen. Umgekehrt kann man von einem Spat 
ABCD:A'B'C'D' ausgehen und zu einer Diagonale AC die in der parallelen 
Ebene enthaltene nicht parallele Diagonale B'D’ hinzunehmen. Die Beziehung, in 
ler das Tetraeder ACB'D' zu dem Spat steht, führt ebenfalls auf (a). ; 
Die obige Formel für den Inhalt eines Prismatoids liefert auch den Inhalt von 
manchem anderen Körper. Auf einen interessanten Fall wird man durch die Integral- 
-echnung geführt, die folgenden Satz liefert: Wenn ein Körper zu einer festen 
Ebene in der Beziehung steht, daß der Inhalt eines jeden zu ihr parallelen Schnittes 
eine ganze rationale Funktion dritten Grades seines Abstandes von dieser Ebene 
‘st, so wird der Inhalt in derselben Weise, wie beim Prismutoid gefunden. Be- 
zeichnet nämlich f(x) den Flächeninhalt des Schnittes, der im Abstande x von jener 
Ebene durch den Körper gelegt wird, so hat der Teil des Körpers zwischen den 
beiden Ebenen, die in den Abständen x, und x, parallel zu jener Ebene gelegt 
wird, das Volumen: 
zT 
V= [f(z) da. 
X 
Für den Fall, daß ist: 
fF@)=a +a, + a + az a) 
wird das Volumen: . 
V=a, (#, —%) +< (x? — x) + (a, — a) Tr (a, *— 2°). 
Setzen wir hier: 
. ‚(1-0 
Eh Sf @) Te) MFC) 
so erhalten wir: 1. 
V= AT +T, +4 M), 
was auf die obige Formel hinauskommt. »