238 814. Weitere Untersuchungen über d. Rauminhalt u. d. Oberfläche von Körpern 
„Unter allen Flächen, die von einem konvexen ebenen Polygon oder 
siner einfach geschlossenen ebenen Kurve begrenzt werden, hat der ein- 
geschlossene Ebenenteil den kleinsten Inhalt. 
Indem wir den Satz auf Polyeder beschränken, können wir ihn in 
folgender Weise aussprechen: 
In einem Polyeder ist jede einzelne Grenzfläche kleiner als die Summe 
der übrigen Grenzflächen. 
Es seien O,, P,, D,,... DB. die Flächen eines einfachen Polyeders. 
Der Winkel, unter dem für v=1,2,...% die Fläche ©, gegen die 
Fläche ®, geneigt ist, soll mit &, bezeichnet werden. Für diesen Winkel 
setzen wir die Grenzen 0° und 90° an; die untere Grenze wird nur für 
parallele Ebenen, die obere nur für Ebenen erreicht, die zu der Ebene ®, 
senkrecht geneigt sind. Jetzt projizieren wir die % letzten Flächen auf 
die erste und geben sowohl den einzelnen Flächen als auch den Pro- 
jektionen. positive Maßzahlen. Dann ist infolge der Festsetzung, die wir 
für die Winkel s, getroffen haben, die Projektion der Fläche ©, auf die 
Ebene der Fläche @, gleich ©, cos &, ($ 13,2 S. 210). Die Größe cos &, 
ist nur dann gleich eins, wenn die Ebene von ®, zu der Ebene von ®, pa- 
rallel ist oder mit ihr zusammenfällt. Da man aber aus lauter parallelen 
Ebenen kein Polyeder bilden kann, so muß es unter den Größen cos &,, 
COS Ey... COS En auch solche geben. die kleiner sind als eins. Dem- 
1ach ist: 
D, + BO, AL... D,> PD, cos &, + PD, cos & +: + Dn COS En. 
Die Projektionen der Flächen ®,, ®,,... BD. auf die Ebene von ®, 
*illen aber mindestens die ganze Fläche ®, an. Um uns hiervon zu 
jiberzeugen, legen wir durch einen Punkt P im Innern von ®, eine 
Jerade, die auf der Ebene von ®, senkrecht steht, und setzen dabei vor- 
aus, daß diese Gerade durch keinen Eckpunkt des Polyeders geht. In 
Jieser Geraden wählen wir auf verschiedenen Seiten von P zwei Punkte 
R und S, zwischen denen kein weiterer Schnittpunkt mit der Oberfläche 
des Polyeders liegt. Dann gehört der eine dieser beiden Punkte dem 
Innern und der andere dem Äußern des Polyeders an. Wir nehmen 
an, R liege im Innern. Dann muß der zu RP entgegengesetzte Halb- 
strahl RX mit der Oberfläche des Polyeders eine ungerade Zahl von 
Punkten, als mindestens einen Punkt, gemein haben. Denkt man sich 
Jemnach von allen Punkten im Innern der Polygone ®,, ®,,... D die 
SJenkrechten auf die Ebene-von ®, gefällt, so füllen ihre Fußpunkte und 
damit die Projektionen dieser Flächen das ganze Innere von DO, an. Die 
Gesamtheit der Projektionen kann über ®, hinausgehen, auch einzelne 
Teile mehrmals bedecken; zum mindesten muß sie die ganze Fläche ©, 
einnehmen. Somit ist: 
D, cos 8, + DB, cos & ++ PD, cos 8, Z D,.