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Sätze über die Oberflächen von Polyedern 9239 
Verbinden wir hiermit die oben angegebene Beziehung, so erhalten 
wir den aufgestellten Satz für einfache Polyeder. Da aber jedes sich 
Jurchsetzende Polyeder in einfache Polyeder zerlegt werden kann (I $ 7,7 
S. 134), so gilt der Satz für alle Polyeder. Die von einem ebenen Poly- 
yon eingeschlossene ebene Fläche ist somit kleiner als jede aus lauter 
ebenen Teilen bestehende Fläche, die von demselben Polygon begrenzt 
wird. Will man aber das Innere eines ebenen Polygons mit einer krummen 
Jberfläche vergleichen, die von demselben Polygon begrenzt wird, so 
braucht man keineswegs die Theorie, nach der man den Flächeninhalt 
einer krummen Fläche begründet, in ihrem vollen Umfange zu berück- 
sichtigen. Man muß nur beachten, daß der Inhalt einer krummen Fläche 
sich als Grenzgestalt einer Summe von Flächen darstellt, die aus lauter 
pbenen Teilen bestehen. Da unser Satz für die letzteren bewiesen ist, 
zilt er auch für krumme Flächen. Endlich dürfen wir das ebene Polygon 
Jurch eine einfach geschlossene ebene Kurve ersetzen, ohne daß der Satz 
seine Gültigkeit verliert. 
Von jetzt an beschränken wir uns auf konvexe Körper und beweisen 
zunächst folgenden Satz: 
Jeder der beiden Teile, in die ein konvexes Polyeder durch irgend 
2ine Ebene zerlegt wird, hat eine kleinere Oberfläche als das gegebene 
Polyeder: 
Ein konvexes Polyeder Q werde durch eine Ebene in die beiden 
Polyeder Q, und Q, zerlegt. Es sei w@ die Oberfläche von 2, mw, die von 
Q, und w, die von Q,. Die beiden Teile, in die die Oberfläche @ durch 
die teilende Ebene zerlegt wird, seien w' und @'', während auf der Ebene 
selbst die Fläche & ausgeschnitten werden soll. Dann ist: 
9=0 +0", o=0+8E, 0=0"45, 8<w, 8<0w", 
ınd demnach: 
" 
0,<0+0"', 0, <w+ w", 
also? 
0,<0, 0,<®. 
Dieser Satz gilt, wie man sofort sieht, auch für beliebige konvexe 
Körper. 
Wir gehen jetzt zum Beweise des folgenden Lehrsatzes über: 
Wenn von zwei konvexen Polyedern das eine ganz im Innern des 
anderen liegt, so hat das eingeschlossene die kleinere Oberfläche. 
Diese Fassung ist nicht ganz exakt, da wir auch die Möglichkeit 
zulassen, daß einzelne Ecken, Kanten oder Seitenflächen des eingeschlos- 
senen Polyeders der Oberfläche des anderen angehören. Schärfer können 
wir den Satz in folgender Form aussprechen: 
En 
MP 
@r 
BD”