240 $14. Weitere Untersuchungen über d. Rauminhalt u, d. Oberfläche von Körpern 
„Wenn kein Teil eines konvexen Polyeders im Äußern eines zweiten 
konvexen Polyeders liegt, ohne daß die Polyeder identisch sind, so ist 
die Oberfläche des ersteren kleiner als die des zweiten.“ 
Wir setzen voraus, das Innere des konvexen Polyeders Q gehöre 
ganz dem Innern des konvexen Polyeders Q, an, sehen aber von dem 
Falle ab, daß die Polyeder zusammenfallen. Dabei gestatten wir, daß 
nicht nur einzelne Eeken und Kanten von Q in der Oberfläche von Q, 
liegen, sondern daß auch Teile der Oberflächen zusammenfallen. Der 
Kürze wegen sagen wir, eine Ebene sei den Polyedern & und Q, ge- 
meinsam, wenn diese Ebene sowohl eine Grenzfläche von Q als auch 
eine Grenzfläche von 2, enthält. Die Zahl der gemeinsamen Ebenen 
kann null sein; sie muß aber mindestens um eins kleiner sein als die 
Anzahl der Grenzflächen in jedem der beiden Polyeder, wenn die Polyeder 
nicht identisch werden sollen. 
Zum Beweise des aufgestellten Satzes greifen wir eine Grenzfläche 
von Q heraus, in deren Ebene keine Grenzfläche von Q, liegt. Die Ebene, 
der diese Fläche angehört, zerteilt das Polyeder 2, in zwei Teile, die 
ebenfalls konvexe Polyeder sind. Diese beiden Polyeder liegen auf ver- 
schiedenen Seiten der teilenden Ebene, während das Polyeder 2 ganz 
dem einen durch diese Ebene begrenzten Halbraume angehört. Wir 
wählen den Teil aus, der mit Q auf derselben Seite dieser Ebene liegt, 
and nennen ihn Q,. Dann liegt jeder Punkt, der den Oberflächen von 
2 und Q, gemeinsam ist, auch auf der Oberfläche von Q,. Speziell ge- 
nört auch jedes Oberflächenstück, das den Oberflächen von Q und Q, 
etwa gemein ist, der Überfläche 2, an. Daher ist die Zahl der Ebenen, 
lie die Polyeder Q& und Q, gemein haben, um eins größer, als die Zahl 
der den Polyedern Q& und 2, gemeinschaftlichen Ebenen. Zugleich ge- 
hört das Innere von Q ganz dem Innern von Q, an. 
Jetzt zerteilen wir das Polyeder 2, durch eine Ebene, in der eine 
Grenzfläche von Q, aber keine Grenzfläche von Q, liegt. Der Teil von 
Q2,, der mit Q auf derselben Seite der teilenden Ebene liegt, soll mit 
2, bezeichnet werden. Dann ist auch Q, ein konvexes Polyeder, in 
dessen Innerem das Innere von Q ganz enthalten ist. Zugleich nimmt 
aber, wenn wir Q, durch Q, ersetzen, die Anzahl der‘ gemeinsamen 
Ebenen wieder um eins zu. Wir können daher in dieser Weise fort- 
fahren, bis wir auf ein konvexes Polyeder &„ kommen, dessen Grenz- 
flächen bis auf eine je in einer Ebene mit einer Grenzfläche von Q liegen. 
Dann kann & als der eine der beiden Teile betrachtet werden, in die 
las Polyeder Q2„ durch eine Ebene zerlegt werden kann. 
Wir bezeichnen die Oberflächen der Polyeder Q,, Q2,, Qgy ... Am, Q& 
ler Reihe nach mit w,, ®,, @s,... Om, 0. Dann ist nach dem voraus- 
geschickten Satze w, > 0, > 0,> --- > 0n> w. Damit ist unsere Be- 
nauptung erwiesen.