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Oberflächen konvexer Polyeder „0 941 
Da die Übertragung auf konvexe krumme Flächen keine Schwierig- 
keit macht, gilt der allgemeine Lehrsatz: 
„Von zwei konvexen Flächen, deren eine ganz dem Innern 
der anderen angehört und an sie höchstens in Punkten, Linien oder 
flächenteilen herantritt, hat die einschließende die größere Oberfläche.“ 
Die Eigenschaft der Ebene, eine Minimalfläche zu sein, verdient beim Unter- 
cicht schon aus dem Grunde erwähnt zu werden, weil sie das Analogon zu dem 
Satze bildet: Die gerade Strecke ist die kürzeste Linie, die zwischen ihren End- 
yunkten gezogen werden kann. Man kann aber auch das Interesse für die Formeln, 
ıach denen krumme Oberflächen berechnet werden, dadurch erhöhen, daß man in 
len Fällen, in denen eine krumme Fläche durch eine einzige ebene Kurve begrenzt 
wird, ihren Inhalt mit dem Inhalt der ebenen Fläche vergleicht, die von der ebenen 
Xurve eingeschlossen ist. So kann man darauf hinweisen, daß sich der Mantel eines 
zeraden Kegels zur Grundfläche verhält, wie die Seitenkante zum Radius des Grund- 
xreises, und daß dementsprechend die Grundfläche aus dem Mantel durch Multi- 
»likation mit dem Kosinus des Winkels erhalten wird, den die Tangentialebene 
nit der Grundfläche bildet. Die Halbkugel als Körper wird von einer ebenen und 
äner krummen Fläche begrenzt, die längs eines Hauptkreises zusammenstoßen. 
Unser Lehrsatz belehrt uns, daß die krumme Fläche, die halbe Oberfläche der Kugel, 
zrößer ist als die ebene Fläche, das Innere eines Hauptkreises, Aus der bekannten 
formel geht aber hervor, daß die erste Fläche genau noch einmal so groß ist als 
lie zweite, Durch diese Zusammenstellung gewinnt der Satz, daß die Oberfläche 
ler Kugel dem vierfachen Inhalt eines Hauptkreises gleichkommt, an Anschaulichkeit. 
Sndlich verhält sich bei einem Kugelabschnitt, der die Höhe Ah hat und aus einer 
{ugel vom Radius r ausgeschnitten wird, der begrenzende Kreis zur zugehörigen 
<alotte wie 27 —h:2r, Dies Verhältnis ändert sich mit h, kommt aber bei einem 
'esten Werte von r immer näher an eins heran, je kleiner h wird. . 
Der letzte Lehrsatz dieser Nummer wird in vielen Lehrbüchern bei der Er- 
nittlung der Fläche einer Kugelzone benutzt. Er wird aber, soweit wir wissen, 
ırgends erwähnt, vielweniger bewiesen. Man beschreibt, um etwa die Gesamt- 
>berfläche der Kugel zu ermitteln, in und um einen Hauptkreis je ein regelmäßiges 
/ieleck und dreht die ganze Figur um einen Durchmesser, . Dann bezeichnet man 
»s als selbstverständlich, daß die von dem eingeschriebenen Vieleck beschriebene 
"läche kleiner und die von dem umgeschriebenen Vieleck beschriebene Fläche 
zrößer ist als die Oberfläche der Kugel. Hier tritt uns eine Tatsache entgegen, die 
eider nicht vereinzelt dasteht: während man beim ersten mathematischen Unterricht 
lie Strenge der Beweisführung übertreibt und dadurch die Schüler abstößt, geht 
nan im stereometrischen Unterricht vielfach an Schwierigkeiten vorbei, ohne den 
Schüler über die Sachlage auch nur aufzuklären. Bei der hier erwähnten Entwicklung 
wird der Schüler vielleicht die Behauptung gedankenlos nachsprechen. Er kann 
ıber auch auf die falsche Ansicht kommen, bei einer Drehung erzeuge die größere 
Linie stets die größere Fläche. Man muß daher, wenn man den Beweis des obigen 
„ehrsatzes nicht durchnehmen will, mindestens in einer Unterhaltung mit den 
Schülern volle Aufklärung geben, um sie vor Irrtümern zu schützen. 
4. Nochmalige Behandlung der Kugelzone. In 8 12,8 8. 220 
aaben wir den Inhalt einer Kugelzone dadurch ermittelt, daß wir sie mit 
ainer Fläche in Verbindung brachten, die aus % Mänteln von geraden 
Kegelstumpfen besteht und die bei unbegrenzter Zunahme der Zahl n in 
lie Zone übergeht. Die benutzte Fläche ist, wie der letzte in der vorigen 
Killing u. Hovestadt: mathem. Unterricht II