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Nochmalige Behandlung der Kugelzone 243 
a) Mit wachsendem % nehmen die Größen der ersten Reihe zu und 
die der zweiten Reihe ab; 
b) jede Größe der ersten Reihe ist kleiner als jede Größe der zwei- 
;jen Reihe; 
c) die Differenz-.U, — FE, kann dadurch beliebig klein gemacht werden, 
laß man % hinreichend groß werden läßt. 
Aus diesen Gesetzen folgt, daß die Größen einer jeden Reihe einem 
festen Grenzwerte zustreben und daß dieser für beide Reihen derselbe ist. 
Die einzelnen Größen werden aber durch Drehung eines gewissen Linien- 
zuges erhalten. Dieser Linienzug geht nun bei unbegrenzter Vergrößerung 
von % in den Bogen über. Daher stellt der gemeinsame Grenzwert die 
Fläche dar, die durch die Umdrehung dieses Bogens entsteht. 
Die durchgeführte Entwicklung führt auf einige interessante Sätze, wenn wir 
nen Halbkreis sich um den Durchmesser drehen lassen, der durch seine Endpunkte 
zeht. Wir wollen jetzt annehmen, der Bogen AB sei ein Halbkreis, und dieser 
Irehe sich um die Gerade A B. In diesem Falle wird der Linienzug AK, E,...Z,_,B 
lie Hälfte eines dem Kreise (0)A umgeschriebenen regelmäßigen 2n-ecks, Die 
Mantelfläche des Körpers, der entsteht, wenn sich dies Polygon um die Gerade AB; 
1.h. um die Verbindungslinie der Mitten zweier Gegenseiten dreht, ist die vom Linien- 
zug E, E,...]K„_, beschriebene Fläche, die aus lauter Kegelmänteln besteht. Da. 
»ber die Maßzahl dieser Fläche gleich 4x7? ist, so ergibt sich der Lehrsatz: 
Regelmäßige Vielecke von gerader Seitenzahl, die um einen festen Kreis be- 
schrieben sind, liefern bei der Drehung um einen Durchmesser, der auf zwei Gegen- 
;eiten senkrecht steht, stets dieselbe Mantelfläche. Diese ist gleich einem Kreise. 
der den senkrechten Abstand zweier Gegenseiten zum Radius hat. 
Speziell haben wir oben ($ 13, 8) gesehen, daß die Oberfläche der Kugel gleich 
‚st der Mantelfläche eines Zylinders, der entsteht, wenn ein dem erzeugenden Kreise 
ımgeschriebenes Quadrat sich um die Verbindungslinie der Mitten zweier Gegen- 
seiten dreht, Nach der letzten Bemerkung darf das Quadrat durch irgendein Viel. 
;ck von gerader Seitenzahl ersetzt werden. Die Oberfläche des erhaltenen Um- 
lrehungskörpers kommt immer näher an die Kugel heran, je größer die Anzahl der 
Seiten wird. Dagegen bleibt die Mantelfläche ungeändert; sie ist immer der Ober- 
läche der Kugel gleich. Die Oberfläche des Umdrehungskörpers und die Oberfläche 
der Kugel unterscheiden‘ sich um den doppelten Inhalt eines Kreises, und der Radius 
lieses Kreises wird um so kleiner, je größer die Seitenzahl wird. 
Auf eine weitere interessante Beziehung hat Martus hingewiesen. Er be- 
trachtet ein regelmäßiges Vieleck von ungerader Seitenzahl und bezeichnet als Höhe 
den Abstand einer Ecke von der gegenüberliegenden Seite. Alsdann gilt der Satz: 
Die Gesamtoberfläche, die ein regelmäßiges Vieleck von ungerader Seitenzahl 
bei der Umdrehung um eine seiner Höhen beschreibt, ist gleich dem Inhalt eines 
Kreises, der die Höhe zum Radius hat. 
Zum Beweise bezeichne man mit A die Höhe des Vielecks, mit s seine Seite, 
mit r den Radius des Umkreises und mit o den Radius des Inkreises. Dann ist die 
gjesamtoberfläche gleich 
za 
2xoh+ Ss 
Da aber £ =h(2r—h) und g=h-—r ist, geht dieser Ausdruck in xh? über. 
Für die Kugelkappe haben wir in $ 13, S. 220 den Inhalt xs? gefunden, wo s 
die Strecke darstellt, die den sphärischen Mittelpunkt mit einem Punkte des Grenz-