244 814. Weitere Untersuchungen über d. Rauminhalt u. d. Oberfläche von Körpern 
kreises verbindet. Zwischen der Strecke s, dem Radius a des Grenzkreises und der 
Höhe h der Kappe besteht aber die Beziehung: s?=a?-+-h*. Daher ist die Kugel- 
kappe auch gleich der Summe aus dem Grenzkreise und dem Kreise, der die Höhe 
zum Radius hat. Mit anderen Worten: Jede Kugelkappe übertrifft ihren Grenzkreis 
um die Oberfläche der Kugel, die in den zugehörigen Kugelabschnitt beschrieben 
werden kann. 
Weitere Beziehungen ergeben sich, wenn man die Kugel mit einem gewissen 
Zylinder und einem gewissen Kegel zusammenstellt. Dabei 1äßt sich aber erreichen, 
daß dieselbe Beziehung nicht nur die Oberflächen, sondern auch die Inhaltsmaße 
der Körper verbindet, Wir glauben daher, diesen Zusammenhang erst an einer 
späteren Stelle besprechen zu sollen. 
Die Sätze über die Fläche einer Kugelzone führen auf flächentreue Abbildung 
einer Kugel auf eine Ebene. Darüber vergleiche man $ 11, S. 206. 
6. Die Kugelschicht. Die Formeln für den Inhalt eines Kugel- 
sektors und eines Kugelsegments haben wir bereits im vorigen Paragraphen 
angegeben. Die Kugelschicht kann als Differenz von zwei Kugelabschnitten 
oetrachtet werden, deren Kalotten denselben sphärischen Mittelpunkt 
haben. Um ihren Inhalt zu berechnen, lassen wir von einem Punkte M 
aines Kreises (O)r zwei Bogen MA und MB ausgehen und nehmen an, 
der Bogen MB sei ein Teil des Bogens MA. Von A und B fällen wir 
die Senkrechten AC und BD auf O.M. Ferner sei X F die Mittelsenkrechte 
der Strecke CD, E ihr Schnittpunkt mit CD, / ihr Schnittpunkt mit 
jem Bogen AB. Wir setzen AC=a, BD=b, EF=m, MC=h,, 
MD=h, CD=h=h,—h,; dann ist ME = (A, +h,):2. Der Inhalt V 
der Kugelschicht, die von den in C und D auf O.M errichteten Normal- 
ebenen aus der Kugel (O)r ausgeschnitten wird, ist als Differenz zweier 
Kugelabschnitte gleich: 
V ah? (r— ) — ah? (r — 2) = arh by + ho) — FW — 
zh, (r +) zh(r 2) arh (h, + hy) — z W* — hhh;. 
Nun ist: 
ph, = MA? = +hr 
2rh = MB? = 6 + 32; 
lemnach: 
. 1 N 
V=Sxzh@A+ + WR) — 
der: 4 x 
(a) V= 57 (a? + b?) +3. 
Zudem ist: 
m = Ahle (27 => A), 
a? + = 27 (h, + he) — A? — h,* 
= 27 (hr +) — = Ay + ha)? — 2m, 
somit: 
b) 
— ap Ah 
V=zmh 73