246 814. Weitere Untersuchungen über d. Rauminhalt u. d. Oberfläche von Körpern 
4B und mit s die Länge dieser Sehne, so wird der Körper, den der zum 
Bogen AB gehörige Kreisabschnitt beschreibt, gleich Zah (r— 0?7)= z s*h. 
Der Inhalt eines solchen Körpers ist somit durch die Länge s der zu- 
gehörigen Sehne und ihre Projektion Ah auf die Drehungsachse bestimmt. 
Um hieraus das Volumen der Kugelschicht zu finden, hat man den 
Inhalt des Kugelstumpfes hinzuzufügen, der durch eine Umdrehung des 
Trapezes ABDC um OM entsteht. Demnach ist das Volumen der Kugel- 
schicht gleich: 
N X 
Eh + zh(& + ah + d”). 
Daraus geht die Formel (@) hervor, wenn man beachtet, daß 
8? — (a — 0b)? + MW ist. 
Wie aus der Formel (a) hervorgeht, übertrifft die Kugelschicht das 
arithmetische Mittel der beiden Zylinder, die über den Grundkreisen er- 
richtet werden können und gleiche Höhe mit der Schicht haben, um 
den Inhalt der Kugel, die von den Ebenen der beiden Grundkreise berührt 
wird. Die Kugelschicht ist durch die Radien a, b der Grundkreise und 
die Höhe eindeutig bestimmt. Der Radius r der Kugel ergibt sich aus 
der Gleichung: 
4b? = (a? +6 + W7)? — 40?b6°. 
Der Inhalt einer Kugelschicht ist, wie die Formel (b) zeigt, schon 
durch die Höhe und den Radius des Mittelschnittes bestimmt. Addiert 
man zu dem Inhalt einer Kugelschicht den halben Inhalt der Kugel, die 
von den beiden Grenzebenen berührt wird, so erhält man den Inhalt eines 
Zylinders, der zwischen denselben beiden Ebenen liegt und den Mittel- 
schnitt zur Grundfläche hat. Der Radius m” des Mittelschnittes muß 
mindestens gleich der halben Höhe (h) sein. Wenn 2m = h ist, so geht 
die Schicht in eine Vollkugel vom Radius m über. Wenn aber 2m >h 
ist, so kann der Radius r der Kugel die Werte annehmen, die zwischen 
m und (4m* + h?): 4h mit Einschluß der Grenzen liegen. Für den klein- 
sten Wert >= m wird der Mittelschnitt ein Hauptkreis und für den 
größten Wert r = (4m*+h*) :4h geht die Kugelschicht in einen Kugel- 
abschnitt über. 
Wie wir schon im vorigen Paragraphen gesehen haben, steht die 
Kugel in enger Beziehung zu dem umgeschriebenen Zylinder, d. h. zu 
dem Zylinder, der die Kugel in seinen Grundflächen und längs seiner 
Mantelfläche berührt. Der Hauptschnitt dieses Zylinders ist ein Quadrat. 
Die Größenbeziehungen werden besonders interessant, wenn wir einen 
Kegel hinzunehmen, der der Kugel umgeschrieben ist und dessen Haupt- 
schnitt ein gleichseitiges Dreieck ist. Dann verhalten sich sowohl die 
Oberflächen als auch die Inhaltsmaße der Kugel, des Zylinders und des 
Kegels wie 4:6 :9.