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Die Kugelschicht 247 
Die Oberfläche der Kugel ist nämlich Anr?, die des Zylinders 6xr* 
ınd die des Kegels gleich 9x7?*. Das Raummaß ist der Reihe nach 
tzr3, Qarß, Bar) 
3 ’ 2 * 
Stetige Verhältnisse erhalten wir auch, wenn wir in die Kugel einen 
Zylinder und einen Kegel von regelmäßigem Hauptschnitt beschreiben, 
ur stehen dann die Oberflächen und die Volumina nicht mehr in den- 
selben Verhältnissen. Auch ändert sich die Reihenfolge. Die Oberfläche 
aines eingeschriebenen Kegels, dessen Seitenkante gleich dem Durch- 
messer des Grundkreises ist, ist nämlich gleich Lan? die Oberfläche 
3ines eingeschriebenen Zylinders mit quadratischem Hauptschnitt gleich 
3xr? und die der Kugel gleich 4xr2; sie verhalten sich demnach wie 
J:12:16. Dagegen sind die Volumina der Reihe nach 2x}, Zar) Y2, 
*zr3 und ihr Verhältnis 9 : 12/2 : 82. 
So merkwürdig diese Einzelheiten auch sind, erachten wir es doch 
für wichtiger, daß es überhaupt möglich ist, den Inhalt jeder Kugelschicht 
zuf einen Zylinder zurückzuführen. Nach der in $ 13,6 angegebenen 
Formel ist der Rauminhalt eines Kugelabschnittes, der durch die Strecken 
r und h bestimmt ist, gleich dem eines Zylinders, dessen Grundkreis die 
Strecke h zum Radius hat und dessen Höhe gleich r — Sh ist. Ebenso 
ann man die Größe (3a? + 356? + h”) : 6 in ein Quadrat g* verwandeln. 
Die Kugelschicht ist somit gleich einem Zylinder von derselben Höhe, 
Jessen Grundkreis den Radius g hat. Zwar steht dieser Zylinder nicht 
n.einer geometrisch hervortretenden Beziehung zu der Kugelschicht. 
Aber die Möglichkeit einer derartigen Zurückführung ist an sich höchst 
»emerkenswert. Während eine ebene Fläche, die durch einen Kreisbogen 
'n Verbindung mit Strecken begrenzt ist, niemals einem Polygon gleich 
'st, dessen Seiten aus jenen Strecken und dem Radius des Kreises durch 
3ine elementare Konstruktion gefunden werden können, läßt sich einer 
abenen Figur, deren Begrenzung aus einem Kreisbogen und einer Anzahl 
von Strecken besteht, ein Polygon derartig zuordnen, daß durch die 
Umdrehung beider Figuren um einen Durchmesser des Kreises, der jenen 
Bogen enthält. inhaltsgleiche Körper entstehen. 
7. Die einer Kugel ein- oder umgeschriebenen konvexen 
Polyeder. Aus dem Vergleich der Formeln, die wir für den Raum- 
inhalt eines Kugelausschnittes und für die Fläche einer Kugelkappe ge- 
*anden haben, geht der Satz hervor: 
„Ein Kugelausschnitt hat denselben Inhalt wie eine Pyramide, deren 
Grundfläche gleich der zugehörigen Kappe und deren Höhe gleich dem 
Radius ist.“