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Zurückführung des Flächenmaßes auf Raummaß 251 
Oberflächen in folgender Weise ein. Er geht von zwei Flächen ®, und 
PD, aus und beschreibt um jeden ihrer Punkte eine Kugel mit einem 
festen Radius 0. Dann mögen die Kugeln, die um die Punkte von ®, be- 
schrieben werden können, von dem Körper Q,, und die um die Punkte von 
PD, beschriebenen Kugeln von dem Körper 2, umhüllt werden. Wenn jetzt 
lie Körper Q, und Q, sich nur um eine Größe unterscheiden, die durch 
Verkleinerung von @ im Vergleich zu 2, und Q, unendlich klein gemacht 
werden kann, so sagen wir, die beiden Oberflächen haben gleichen Inhalt. 
Wir möchten die Definition in folgender Weise aussprechen. Die 
Kugeln, die mit einem festen Radius 0 um die sämtlichen Punkte einer 
Fläche ® beschrieben werden können, mögen durch einen Körper vom 
[nhaltsmaße 2 eingehüllt werden. Wir nehmen demnach einen Körper 
ainzu, der zu der Gesamtheit der um die Punkte der Fläche mit dem 
jesten Radius @ beschriebenen Kugeln in der Beziehung steht, daß jeder 
Punkt im Inneren des Körpers mindestens einer Kugel angehört und 
jeder Punkt im Inneren einer solchen Kugel auch ein Innenpunkt des 
Körpers ist, und nennen Q sein Inhaltsmaß. Nähert sich der Quotient 
2:20 für immer kleiner werdende Werte von 60 einem festen Grenz- 
werte, so stellt dieser das Inhaltsmaß der Fläche ® dar. 
Die Definition kann für die Zwecke der Schule etwas umgeändert 
werden. Man legt in jedem Punkte der Fläche die Tangentialebene 
an und errichtet auf ihr in ihrem Berührungspunkte eine Senkrechte von 
der festen Länge d. Alle diese Senkrechten sollen auf derselben Seite der 
rläche liegen; d.h. wenn die Fläche für sich oder in Verbindung mit 
anderen Flächen einen Körper begrenzt, dessen Oberfläche sich nicht 
lurchsetzt, so sollen alle Senkrechten entweder im Inneren oder im 
Äußeren dieses Körpers liegen. Diese Senkrechten werden von einem 
zewissen Körper eingehüllt; dem Körper gehören also nur Punkte an, die 
zuf einer solchen Strecke liegen, und umgekehrt liegt jede Senkrechte 
zuch im Inneren des Körpers. Das Inhaltsmaß dieses Körpers möge zu 
ler Länge 0 in einem Verhältnisse stehen, das bei unbegrenzter Abnahme 
ron 0 einem festen Grenzwerte zustrebt. Alsdann stellt dieser Grenzwert 
Jen Inhalt der Fläche dar. 
Die zweite Form der Definition setzt voraus, daß die Fläche im allgemeinen 
in jedem Punkte eine Tangentialebene hat. Sie ist infolgedessen nicht so allgemein, 
wie die von Dehn selbst angegebene Form, Indessen kommt dieser Umstand für 
lie Schule nicht in Betracht. Dagegen kann man die Dehnsche Definition erst an- 
wenden, nachdem man den Rauminhalt der Kugel ermittelt hat. Man muß daher, 
wenn man sich streng an Dehn anschließen will, erst den Rauminhalt der Kugel 
ermitteln, ehe man zur Oberfläche des Zylinders und des Kegels übergehen kann. 
Das ist nicht notwendig, wenn wir die kleine Anderung anbringen, die wir soeben 
angegeben haben. Wir wollen in den folgenden Darlegungen immer diese zweite 
Form zugrunde legen. 
Die Formel für den Rauminhalt des Körpers, der die sämtlichen Senkrechten 
einhüllt, erleidet eine kleine Anderung, je nachdem man die Senkrechten auf der