252 814. Weitere Untersuchungen über d. Rauminhalt ı. d, Oberfläche von Körpern 
einen oder der andern Seite errichtet. Um immer dieselbe Formel gebrauchen zu 
können, legen wir der Größe d das positive oder das negative Vorzeichen bei, je 
aachdem die Strecken auf der einen oder der andern Seite abgetragen werden. 
Um die Mantelfläche eines geraden Zylinders vom Radius 7 und der 
Höhe % zu bestimmen, nehmen wir einen zweiten Zylinder hinzu, der 
lieselbe Achse hat, somit auch in der Höhe übereinstimmt, während 
Jer Radius des Grundkreises gleich r + 0 ist. Der zwischen den Mänteln 
Jieser beiden Zylinder enthaltene Raum enthält alle Strecken von der 
Länge &®, die auf den Normalen des gegebenen Zylinders abgetragen 
werden können. Hierbei wird @ positiv oder negativ gerechnet, je nach- 
dem diese Strecken im Äußeren oder im Inneren dieses Zylinders liegen. 
Demnach ist der Inhalt des zwischen den beiden Mänteln enthaltenen 
Körpers gleich x (r + 0)?h— zr*h; das Verhältnis zu d gleich 2xrh + x Öh, 
also die Mantelfläche gleich 2xrh. , 
Die Mantelfläche eines geraden Kegels vom Radius r, der Höhe h 
und‘ der Seitenkante s kann in folgender Weise gefunden werden. Man 
nimmt einen zweiten Kegel hinzu, dessen Mantelfläche von der des 
ersten überall den Abstand. ® hat. Ist die Seitenkante des gegebenen 
Kegels unter dem Winkel a gegen die Grundfläche geneigt, so hat der 
zweite Kegel den Radius: 
& Ö:8 
A 
and die Höhe: 
& ds 
h + co & rm h + x 
Demnach ist das Volumen des zweiten Kegels gleich: 
x  dös\? Ös x | 3 
5 (r +7) (n+ 7) = ze (rh + 0) ; 
Die Mantelfläche des geraden Kegels ist somit gleich dem Grenz- 
wert, dem sich der Bruch 
5a (ch + 05)* — vn} 
für immer kleiner werdende Werte von ®0 unbegrenzt nähert. Dieser 
ist aber xzrs. 
Will man im Anschluß an die Dehnsche Definition den Inhalt einer 
Kugel-Kalotte berechnen, so geht man am besten von einem Kugel- 
ausschnitt aus. Dieser wird durch den Radius 7 der Kugel und die 
Höhe h der zugehörigen Kappe bestimmt. Man nimmt eine konzentrische 
Kugel vom Radius y' hinzu und erweitert den Kegelmantel, der den 
gegebenen Kugelausschnitt begrenzt, bis zum Schnitt mit der zweiten 
Kugel. Dadurch wird aus der zweiten Kugel ein Sektor ausgeschnitten, 
der dem ersten ähnlich ist. Die Höhe h’ der Kalotte, die zu dem zweiten 
Kugelsektor gehört, genügt daher der Gleichung : h':h = r7':r. Wird