Mer 
un 
88 
{ dor 
‚dor 
nd 
len 
der 
AS 
ACn- 
{7R1 
PN 
dh 
& 
RU 
hd 
erö 
WM 
Zurückführung des Flächenmaßes auf Raummaß ‚253 
jetzt noch r' = 7 + 0 gesetzt, so ist der Inhalt des zwischen den beiden 
Kalotten enthaltenen Körpers gleich: 
1m (pp ya) 37 ((r 4 OH pp) 2 (00) 
Daraus geht hervor, daß die Kugelkappe den Flächeninhalt 2xrh hat. 
In derselben Weise kann man den Inhalt einer Kugelzone bestimmen, 
wenn man den in Nr.6 8.245 angegebenen Wert für den Rauminhalt eines 
Körpers benutzt, der durch Umdrehung eines Kreissektors um einen 
Durchmesser in dem Falle entsteht, daß dieser nicht in das Innere des 
Sektors eindringt. 
Wir möchten noch im Anschluß an die Dehnsche Definition die Formel für 
das Flächenelement einer krummen Oberfläche herleiten, die durch die Gleichung 
z= f(x, y) bestimmt ist. Zu dem Zwecke gehen wir aus von einem Körper, der 
Jurch eine ebene Fläche ®, die in der Ebene z=0 liegt, den in den Endpunkten 
Jieser Fläche auf ihrer Ebene errichteten Senkrechten und dem zwischen der Ge- 
zamtheit dieser Senkrechten enthaltenen Teile der krummen Fläche eingeschlossen 
ist. Der Rauminhalt dieses Körpers wird durch das Doppelintegral //f(x,y) dxdy 
bestimmt, das über die Fläche ® erstreckt wird. Indem wir jetzt auf jeder Tan- 
gentialebene der Fläche im Berührungspunkte eine Senkrechte von der Länge 0 
errichten, erhalten. wir eine neue Fläche, deren Gleichung ist: 
d 
=) at “.. 
wo « den Winkel bezeichnet, den die Tangentialebene mit der Ebene z = 0 bildet 
und die fehlenden Glieder höhere Potenzen von d enthalten. Demnach ist der Teil 
ler Oberfläche, der senkrecht über der Fläche ® liegt, gleich dem über diese Fläche 
erstreckten Doppelintegral: 
(* (azay dA? (9f\* | 
»/ cos a dady Vı+(Z) + (3) ; 
MT 
Set 
ner 
‚mal. 
Vokal 
+ 
; ft 
L 
#9 
den 
PA 
“HN 
"en 
5 
pitel 
Al 
Die Länge einer ebenen Kurve wird von Dehn in ganz entsprechender Weise 
jefiniert. Um ebene Kurven nach ihrer Länge miteinander zu vergleichen, beschreibt 
ar um alle ihre Punkte Kreise von demselben Radius & und bestimmt die Flächen, 
durch die jedesmal die Schar der Kreise umhüllt wird. Wenn diese Flächen sich 
nur um eine Größe unterscheiden, die bei unendlich kleinem Werte von & unendlich- 
zlein von einer höheren Ordnung wird, so legt er den Linien gleiche Länge bei. 
Wir können auch den Grenzwert des Verhältnisses, in dem eine solche Fläche 
sei unbegrenzt abnehmendem Werte von & zu 20 steht, als die Länge der Linie 
definieren. 
Auch hier dürfen wir, wenn wir auf die volle Allgemeinheit verzichten wollen, 
/olgende Definition aufstellen. Man trägt auf den Normalen der Kurve in ihren 
Endpunkten nach derselben Seite eine feste Länge d ab und nimmt die Kurve hin- 
zu, auf der die Endpunkte aller dieser Senkrechten liegen. Die beiden Kurven 
schließen entweder für sich oder im Verein mit den auf ihren Endnormalen ab- 
zetragenen Strecken eine gewisse Fläche ein. Wenn das Verhältnis, in dem der 
Inhalt dieser Fläche zu der Strecke d steht, für hinreichend kleine Werte von 6 
ainem festen Grenzwert zustrebt, so wird dieser als die Länge der Linie bezeichnet. 
Der Umfang des Kreises vom Radius r wird hiernach gleich: 
lim x era = 2277. 
j=0