N 
ızen 
ON 
ant. 
WR 
A Ale 
He 
FO 
Ir 
"an 
man 
7 
an. 
SM 
mn 
IE, 
m 
den & 
„A 
a 
Y 
uw} 
[nl 
AUS hapa 
DB 
ar 
Länge von Raumkurven 
9. Würdigung der Dehnschen Definitionen. Die Dehnschen Definitionen 
ür die Länge einer krummen Linie und das Flächenmaß einer krummen Oberfläche 
haben große Vorzüge. Damit die allgemeine Definition eines Begriffes überhaupt 
yzestattet ist, muß sie in allen den Fällen, in denen der Begriff schon vorher bekannt 
st, mit diesem übereinstimmen. Dieser Forderung genügen die Dehnschen Defi- 
nitionen. Für eine Linie, die aus lauter geraden Strecken besteht, ist der Begriff 
ler Länge unmittelbar klar. Das auf diese Weise erhaltene Längenmaß genügt 
aber auch der neuen Definition, Das Flächenmaß ebener Flächen haben wir in185 
S. 75 ff) selbständig eingeführt. Im Anschluß an diese Untersuchungen ergibt sich 
3in bestimmtes Flächenmaß für jede Fläche, die aus lauter ebenen Teilen besteht. 
Dasselbe Flächenmaß geht auch aus der Dehnschen Definition hervor. 
Zweitens muß bei jeder Teilung einer Linie das Längenmaß der Linie selbst 
zleich der Summe aus den Längen der einzelnen Teile sein, Ein entsprechender 
Satz muß für das Flächenmaß einer jeden Fläche gelten. Auch diese Forderungen 
werden durch die Definitionen Dehns befriedigt. 
Drittens sind die neuen Definitionen in der von Dehn selbst gegebenen Form 
zanz allgemein. Sie setzen gar nicht voraus, daß die zu messende Linie Tangenten 
der die untersuchte Fläche Tangentialebenen besitzt. Dieser Vorzug muß sehr 
hoch gewertet werden. Man hat zwar früher geglaubt, es genüge, in eine krumme 
Jberfläche beliebige Polyeder so einzubeschreiben , daß die einzelnen Flächen sämt- 
ich unendlich klein werden. Aber H. A. Schwarz (Brief an Hermite, abgedruckt 
'n Schwarz’ gesammelten Werken Bd. II) hat gezeigt, daß diese Meinung irrig ist. 
Wenn der Körper konvex ist, so kann man sich freilich auf konvexe Polyeder be- 
schränken und den unter dieser Beschränkung erhaltenen Grenzwert als die Ober- 
Jäche definieren. Bei Flächen, die Tangentialebenen besitzen, kann man die 
Forderung hinzufügen, daß jede Grenzfläche des eingeschriebenen Polyeders ver- 
schwindend kleine Winkel mit den Tangentialebenen bildet, die in ihren Eckpunkten 
an die Fläche gelegt werden können. Es dürfte aber schwer sein, ein allgemeines 
Gesetz aufzustellen, nach dem man der krummen Oberfläche die Polyeder ein- 
neschreiben muß, wenn die krumme Oberfläche als Grenzgestalt der Oberfläche 
ler Polyeder betrachtet werden soll. Diese Schwierigkeit fällt bei der Dehnschen 
Methode ganz weg. Es wäre daher höchst wünschenswert, wenn diese Definitionen 
zur Grundlage von allgemeinen rein geometrischen Untersuchungen gemacht würden. 
Viertens schließt sich diese Einführung des Längen- und des Flächenmaßes 
zanz eng an die Anschauungen der natürlichen Geometrie an. Beschreibt man 
nämlich um jeden Punkt einer Fläche eine Kugel mit dem Radius d, so identifiziert 
lie natürliche Geometrie bei hinlänglich kleinem Werte von d die Fläche mit dem 
Körper, der alle diese Kugeln und keine weiteren Teile enthält. Sie legt daher 
zwei Flächen gleichen Inhalt bei, wenn das Verhältnis der Inhaltsmaße der beiden 
Körper immer mehr dem Werte eins zustrebt, je kleiner der Radius 0 wird. Ent- 
sprechendes gilt von der Länge einer beliebigen krummen Linie, 
Hiermit hängt der weitere Vorzug zusammen, daß die verschiedenen Begriffe 
auf einen einzigen, den des Körpermaßes, zurückgeführt werden. 
Endlich wird die ganze Behandlung der krummen Linien und Flächen, wie 
Dehn selbst hervorhebt und unsere obige Darlegung zeigt, ganz gleichförmig, 
Man kann immer von demselben Gedanken ausgehen und ihn wesentlich in gleicher 
Weise durchführen. Wir möchten noch darauf hinweisen, daß die Herleitung sehr 
zeeignet ist, in die Grundbegriffe der Differentialrechnung einzuführen. 
Dagegen sind die Vorwürfe, die Dehn der gebräuchlichen Methode macht, 
teils übertrieben und teils unbegründet. Seine Bedenken gegen die archimedische 
Kreismessung glauben wir im ersten Bande (I 8 19, 3 S. 385f.) hinlänglich wider- 
jegt zu haben. Wir gehen dennoch kurz darauf ein und erinnern an die beiden Sätze: