r 
Ang 
AA 
+01, 
A den 
HN 
wr 
Syn 
N 
A 
“Zen 
nd 
Wal 
‘fon 
$ m 
Ind 
15 en 
4 Her 
Ma 
eur 
Sy 
EN 
im 
aD 
4 5 
en 
1 weint 
AZneD 
I 4 
AUS 
AD. 
A WE7, 
u 
or 
7028, 
„pi 
ar. 
Piel 
ı ge 
el 
ET 
Akte 
m Wit 
sl an 
ed 
ap78N 
DR @r- 
4 daß 
one 
nA 
Erweiterung des Begriffs eines Polygons 257 
(ür eine einzige zweite Strecke ist. Indem wir .jede solche Strecke eine 
Kante und jeden Punkt, der gemeinschaftlicher Endpunkt zweier Kanten 
St, einen Eckpunkt des Polygons nennen, ist es nicht notwendig, daß 
zwei beliebige Kekpunkte durch einen Streckenzug, der aus lauter Kanten 
vjesteht, miteinander verbunden werden können. Ein Polygon, das der 
arsten Definition genügt und das infolgedessen aus einem einzigen Zweige 
’esteht, möge als ein Einzelpolygon bezeichnet werden. Der neuen Defi- 
nition entspricht es, daß wir auch die Vereinigung von Einzelpolygonen, 
lie in einer Ebene liegen und keinen Eckpunkt gemein haben, als ein 
Polygon auffassen. Die Seiten zweier Dreiecke, die in einer Ebene 
jiegen und keinen Eckpunkt gemein haben, bilden sechs Strecken, 
von denen jede mit einer anderen einen Eckpunkt gemein hat; die Ver- 
inigung dieser beiden Dreiecke stellt somit ein Sechseck von besonderer 
Art dar. 
Ein einfaches Polygon haben wir früher (I. S. 62) im Anschluß an 
Hilbert durch die Forderung definiert, daß von jeder Ecke nur zwei 
Kanten ausgehen und daß keine zwei Kanten einen Punkt gemein haben, 
der zwischen ihren Endpunkten liegt. Diese Forderungen charakteri- 
zieren auch ein einfaches Polygon, das aus mehreren Zweigen besteht. 
Statt dessen können wir auch sagen: Die Vereinigung von mehreren in 
ıiner Ebene gelegenen Einzelpolygonen soll als ein einfaches Polygon 
aufgefaßt werden, wenn erstens jedes Einzelpolygon einfach ist und 
zweites keine zwei Kanten, die verschiedenen Einzelpolygonen an- 
zehören, einen Punkt gemein haben. 
Bei dieser Erweiterung des Begriffes fällt der Satz über die Winkel- 
zumme (I. $ 4,6. 5. 66) weg. Dagegen dürfen wir alle Punkte der Ebene, 
soweit sie nicht einer Kante angehören, als Außen- und Innenpunkte 
anterscheiden. Zu dem Ende setzen wir fest: Wenn von einem solchen 
7Punkte ein Halbstrahl ausgeht, der keinen Eckpunkt des Polygons 
»nthält, so soll er ein Außen- oder ein Innenpunkt heißen, je nachdem die 
Anzahl der Punkte, in denen der Halbstrahl mit dem Polygon zusammen- 
irifft, gerade oder ungerade ist. Um zu erkennen, daß diese Definition 
arlaubt ist, müssen wir zeigen, daß zwei Halbstrahlen, die in demselben 
7unkte begrenzt sind, ohne durch einen Eckpunkt hindurchzugehen, 
las Polygon entweder beidemal in einer geraden oder beidemal in einer 
angeraden Anzahl von Punkten treffen. Dieser Nachweis ist sehr leicht 
zu führen. Das Polygon &Q möge in die Einzelpolygone Q,, Q, ... QAm 
zerfallen. Von einem Punkte P, der in keiner Kante liegt, mögen zwei 
Halbstrahlen ausgehen, die keinen Eckpunkt enthalten. Der erste Halb- 
Strahl treffe mit Q in po, mit Q, (für ı = 1, 2,... m) in v, Punkten zu- 
sammen. Ebenso soll der zweite Halbstrahl das Polygon &Q in g, das 
Polygon 2, in g, Punkten durchsetzen. Da die Polygone Q,, Q, ... Qm 
»infach sind und ihre Umfänge sich nicht treffen, ist dp = Xp, q= Id, 
Killing u. Hovestadt: mathem. Unterricht II