Full text: Handbuch des mathematischen Unterrichts (2. Band)

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Erweiterung des Begriffs eines Polygons 959 
ABU und FG V ganz dem Inneren angehören, und verlangen, daß diese 
Jreiecke gleichen Sinn haben Diese Forderung ist von der speziellen 
Wahl der Punkte U und Vunabhängig. Wenn nämlich auch die Dreiecke 
ABU und FG-V' ganz im Inneren des Polygons liegen, so hat auch 
ABU den Sinn von ABU und FGV' den Sinn von FG-V. Hierbei 
‚st es gleichgültig, ob die Kanten AB und FG demselben Zweige an- 
gehören oder nicht. Unsere Forderung stellt somit eine natürliche Er- 
weiterung der Regel dar, nach der man in einem einfach geschlossenen 
Streckenzuge die Eckpunkte aufeinander folgen läßt. Nachdem die 
Ecken der Einzelpolygone in dieser Weise geordnet sind, dürfen wir 
len Sinn des Dreiecks ABU als den Sinn des Polygons auffassen. 
Jetzt können wir die Methode, nach der Möbius (vgl. I. 8 5, 15—17, 
3. 95 ff.) den Inhalt eines Polygons bestimmt, das aus einem Zweige 
jesteht, auf ein einfaches Polygon übertragen, das beliebig viele Einzel- 
golygone umfaßt. Zu dem Ende nehmen wir einen beliebigen Punkt S 
ler Ebene hinzu und bilden die sämtlichen Dreiecke, für die der Punkt S 
arster, ein beliebiger Eckpunkt des Polygons zweiter, und der folgende 
ückpunkt des Polygons dritter Eckpunkt ist. Das Inhaltsmaß eines jeden 
solchen Dreiecks versehen wir mit dem positiven oder dem negativen Vor- 
zeichen, je nachdem sein Sinn mit dem Sinn des Polygons übereinstimmt 
»der nicht, und sehen die algebraische Summe aus den Flächenmaßen 
ler einzelnen Dreiecke als das Flächenmaß des Polygons an. Auch diese 
Festsetzung führt auf die Formel (1). 
Obwohl die soeben betrachteten Polygone aus mehreren Zweigen bestehen, 
zelten für sie im wesentlichen dieselben Gesetze, wie für einfache Polygone, die 
nur einen einzigen Zweig enthalten. Um das zu zeigen, haben wir voraussetzen 
müssen, daß jeder Zweig einfach ist und daß Kanten, die verschiedenen Zweigen 
angehören, keinen Punkt gemein haben. Sobald auch nur eine dieser beiden Be- 
lingungen nicht erfüllt ist, wird es nicht möglich, Innen- und Außenpunkte zu 
anterscheiden und dadurch den Flächeninhalt zu definieren. Auch läßt sich keine 
feste Regel aufstellen, die es gestattet, zu jedem Eckpunkt den vorhergehenden 
ınd den nachfolgenden Eckpunkt anzugeben. 
Auf die vorgenommene Erweiterung wird man, wie wir in Nr. 3 sehen werden, 
dadurch geführt, daß man für die Schnittgebilde von beliebigen Ebenen mit einem 
ainfachen Polyeder, das nicht konvex ist, allgemeine Geset e aufstellen will. Diese 
Zrweiterung erweist sich aber auch als notwendig, wenn man gewissen Sätzen über 
‚egelmäßige Polygone, die dieselben Eckpunkte haben, allgemeine Gültigkeit bei- 
'1egen will 
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2. Erweiterung des Begriffes eines einfachen Prismas, 
ainer einfachen Pyramide und eines einfachen Prismatoids. 
Kin einfaches Polygon, das aus mehreren Zweigen besteht, kann zur 
äJrundfläche eines Prismas genommen werden. Nachdem dann noch 
die Richtung der Seitenkante und die Ebene gewählt ist, in der die 
andere Grundfläche liegen soll, ist das Prisma eindeutig bestimmt. Ein 
solches Prisma besteht aus einer gewissen Anzahl von einfachen Prismen,
	        
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