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$ 15. Das Cavalierische Prinzip 
denselben beiden parallelen Ebenen liegen. Wir gehen jetzt von zwei 
derartigen Prismatoiden Q und Q' aus, die von jeder zu den Grundflächen 
parallelen Ebene unter gleichen Flächen geschnitten werden. Dabei dürfen 
wir den Fall nicht ausschließen, daß die ausgeschnittenen Flächen, sowie 
die Grundflächen selbst, aus mehreren Einzelpolygonen bestehen. Nur 
setzen wir voraus, daß alle diese Polygone einfache Polygone im Sinne 
von Nr. 1 sind. 
Die gemeinsame Höhe % der beiden Prismatoide zerlegen wir ın 7 
gleiche Teile und legen durch jeden Teilpunkt eine zu den Grundflächen 
parallele Ebene. Dadurch wird jedes der beiden Prismatoide in 7 Teile 
zerlegt, deren jeder ein Prismatoid der angegebenen Art ist. Hierbei zer- 
fällt Q in die Prismatoide Q,, Q,,... Q2, und Q' in Q' 1, Qy00 Q'r 
Die Grundflächen von Q, (für v=1, 2,...r + x) sollen IV und IT, 41, 
die Grundflächen von &' dagegen I”, und I”, sein, wo I, und TI’! 
lie unteren, I%-.1 und I”, die oberen Grundflächen von Q und Q' 
sind. 
Jetzt greifen wir irgendeine Seitenfläche von Q heraus. Wenn 
diese nicht auf der Grundfläche senkrecht steht und sonach mit ihr einen 
rechten Winkel bildet, so verstehen wir unter « den spitzen Winkel, 
unter dem sie gegen die Grundfläche geneigt ist. Mit a@ bezeichnen wir 
die größere der beiden Kanten, in denen sie mit einer der beiden Grund- 
Aächen zusammenstößt. Sind diese beiden Kanten gleich, so soll a ihre 
gemeinsame Maßzahl darstellen. Dann ist die Projektion dieser Seiten- 
Häche auf die Grundfläche im allgemeinen kleiner, jedenfalls aber nicht 
größer als a-h-cotg x. Da aber jede Strecke, die in diesem Trapez 
parallel zu den Grundflächen gezogen werden kann, höchstens der Strecke 
% gleichkommt, im allgemeinen aber unter ihr bleibt, so wird jeder 
Teil eines Seitentrapezes, der zwischen zwei aufeinander folgenden par- 
allelen Ebenen liegt, auf die Grundfläche in eine Fläche projiziert, die 
zleiner oder höchstens gleich T ‚ah. cotg « ist. 
Dieselbe Betrachtung stellen wir für jede Seitenfläche von Q an. 
Indem wir jedesmal die Strecke a nach der gegebenen Vorschrift be- 
stimmen und mit « den Neigungswinkel der entsprechenden Seitenfläche 
zur Grundfläche bezeichnen, wollen wir unter s die Summe X a cotg « 
verstehen. Die Projektionen der einzelnen Seitenflächen von Q, auf die 
Grundfläche I”, können einander teilweise überdecken. Demnach ist die 
Gesamtprojektion P, der Seitenflächen von Q, auf I, höchstens gleich 
der Summe aus den Projektionen der einzelnen Seitenflächen. Somit ist: 
PA cch 
Hier hängt die Strecke s nur von dem Prismatoid & und nicht von 
der Zahl 7 ab,