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8 15. Das Cavalierische Prinzip 
Daraus geht mit Hilfe des archimedischen Axioms die Gleichheit 
der Prismatoide Q und Q' hervor. Wie die in Nr. 3 angestellten Be- 
obachtungen zeigen, gilt hiernach das Cavalierische Prinzip für alle ein- 
fachen Polyeder.) 
6. Das Volumen eines Kreisringes. Wir wollen das Cavalierische Prinzip 
benutzen, um den Rauminhalt von einigen Körpern zu bestimmen, auf die wir bis- 
2er nicht eingegangen sind, die aber virvlfach in Lehrbüchern behandelt werden. 
Ein Kreis (0) r drehe sich um eine in seiner Ebene gelegene Gerade g, die 
von Oden Abstand 04 = a hat. Der durch die Drehung beschriebene Körper wird 
anter der Annahme a > r ein Kreisring genannt. Um seinen Rauminhalt zu er- 
mitteln, durchschneiden wir ihn durch eine Ebene E, die auf g senkrecht steht 
ınd von O den Abstand x hat. Diese treffe die Gerade g in einem Punkte X und 
Jen Kreis (O)r in den Punkten Y und Z. Die Fläche, die durch diese Ebene aus 
dem Kreisring ausgeschnitten wird, wird durch die beiden konzentrischen Kreise 
'X) Y und (X)Z eingeschlossen. Nehmen wir an, der Punkt Y liege zwischen X 
und Z, so ist XZ=a+Vr?_a® XY=a-Vr*—x?* und demnach die aus- 
geschnittene Fläche gleich 
x {(a +Vri Zw) (a- Vz?) 2 = 4xaVr?—@}. 
Dieser Ausdruck stellt den Flächeninhalt eines Rechtecks dar, dessen Grund- 
linie gleich 2 Vr?— x? und dessen Höhe gleich 2xa ist. Die Strecke 2 Vr*— x* 
ist die Sehne, in der die Ebene E den Kreis (O)r schneidet. Wenn wir daher den 
Kreis (O)r zur Grundfläche eines geraden Zylinders machen, dessen Höhe gleich 
2xa oder gleich dem Umfange des vom Punkte O beschriebenen Kreises ist, so 
schneidet die Ebene E aus dem Kreisringe und dem Zylinder gleiche Flächen aus. 
Da dies von jeder Ebene gilt, die auf der Umdrehungsachse senkrecht steht, so 
sind die Bedingungen des Cavalierischen Satzes erfüllt. Die beiden Körper haben 
also gleichen Rauminhalt. Demnach ist der Inhalt eines Kreisringes gleich 
a 
Durch ähnliche Erwägungen finden wir das Volumen eines Kreiswulstes, 
sines Körpers, der durch die Drehung eines Kreises um eine ihn schneidende Ge- 
‚ade entsteht. Wir weisen noch darauf hin, daß die Anwendung des Prinzips auf 
die einfache Voraussetzung hinauskommt, die wir in $ 13, S. 215 gemacht haben. 
7. Halbierung eines Tetraeders durch ein hyperbolisches Paraboloid, 
Den beiden Gegenkanten AB und CD eines Tetraeders ABCD sind im Sinne von 
S 6, 5 (S. 155) zwei parallele Ebenen in der Weise zugeordnet, daß jede dieser 
beiden Ebenen eine Kante enthält und zur Gegenkante parallel ist. Eine beliebige 
dritte Ebene, die zu diesen Ebenen parallel ist, möge AC in X, BD in Y, AD 
in U und BC in V schneiden. Dann sind die Geraden XU und YV zu CD, die 
Gerade X Fund YUzu.4B parallel. Also ist das Viereck XUY V ein Parallelo- 
gramm. Dies wird durch die Diagonale X Y in zwei kongruente Teile zerlegt. 
Wenn man jetzt die schneidende Ebene parallel verschiebt, so beschreibt die Ge- 
rade X Y ein hyperbolisches Paraboloid, da sie parallel einer festen Ebene an zwei 
windschiefen Ge:aden entlang gleitet. Der Teil dieser F’äche, der durch das wind- 
schiefe Viereck ABDC eingeschlossen wird, teilt das Tetraeder ABCD in zwei 
Teile, aus denen jede zu den Geraden AB und CD parallele Ebene gleiche Flächen 
ausschneidet. Folglich wird das Tetraeder durch das hyperbolische Paraboloid in 
1) Wir haben den zweiten Beweis hauptsächlich aus dem Grunde beigefügt, 
weil er bei einer passenden Änderung auf Körper übertragen werden kann, die 
ron krummen Oberflächen eingeschlossen werden.