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Um ein neues Polyeder zu bilden, gehen wir von zwei konvexen Polygonen, 
einem m-eck und einem %-eck aus, von denen das letztere ganz im ersten enthalten 
ist. Über ihnen beschreiben wir zwei gerade Prismen IT. und IT,. Wenn diese auf 
verschiedenen Seiten der gemeinsamen Grundebene. liegen, so bildet ihre Ver- 
ainigung ein einfaches Polyeder. Dasselbe gilt auch noch, wenn die Prismen IL, 
und IZ, auf derselben Seite der Ebene liegen]und die Höhe von IT, größer ist als 
lie von IT„. Für das neue Polyeder ist der zwischen den beiden Polygonen ent- 
haltene Teil der Ebene als eine Grenzfläche aufzufassen, Dazu treten die beiden 
anderen Grundflächen und die Seitenflächen der beiden Prismen. Die gemeinschaft- 
liche Grundfläche kann in m -+n Dreiecke zerlegt werden ; demnach ist D=4m-+41n--4. 
Ferner ist f=3+m+n, e=2m+2n, k=3m+3n. Für diesen Körper gilt die 
Formel (2); dagegen tritt an die Stelle der Gleichung (1) die Beziehung: € +f=k+3. 
Das ändert sich aber, wie bereits bemerkt wurde, wenn die Prismen auf derselben 
Seite der gemeinschaftlichen Grundfläche errichtet werden und gleiche Höhe haben. 
Wir gehen von zwei konvexen Polyedern IT’ und IT” aus, von denen das eine 
ganz im Innern des anderen liegt, ohne daß das innere mit irgendeinem Punkte an 
die Oberfläche des andern stößt, und betrachten den Raumteil, der durch diese 
beiden Polyeder abgegrenzt ist, Es sollen e', f’, k', D’ die angegebene Bedeutung 
für II’, e”, ff”, k", D" für HI" haben, während die Zeichen e, f; k, D für das neue 
Polyeder gelten sollen. Dann ist e=e'+e", f=f'+f",k=k'+k", D=D'+ D", 
also e+f=k+4, D=2(e— 4). 
Jetzt nehmen wir an, eine Grenzfläche von II’ liege im Innern einer Grenz- 
fäche von IT'; es stoße aber kein Eckpunkt von II” an die Oberfläche von IT’. Dann 
istunter Beibehaltung der soeben eingeführten Bezeichnung: e= e' Le", f=f'+f"—1, 
k=k'+k", D=D'+D"+4. (Um die letzte Formel zu beweisen, muß man be- 
achten, daß ein m-eck in m — 2, ein n-eck in n— 2 und die zwischen einem m-eck 
and einem “-eck enthaltene Fläche in m + n Dreiecke zerlegt werden kann.) Dem- 
nach ist e+f=k+3, D=2(e-—2). 
Wir wollen dadurch eine weitere Änderung herbeiführen, daß wir noch eine 
zweite Grenzfläche von II” in das Innere einer Grenzfläche von IT’ fallen lassen. 
Dabei sollen alle weiteren Eckpunkte von IT” im Innern von JT' liegen. Dann ist 
f=f+f"—2, e=e'+e!, k=k'+k", D=D'+D"+8 und somit e+f=k+2, 
D=2e. 
In 187, 8 (S. 135) haben wir auf ein Polyeder aufmerksam gemacht, das dem 
Kantengesetze von Möbius nicht gehorcht. Um es zu konstruieren, gehen wir von 
sechs Punkten 4, B, C, D, E, F aus, von denen keine vier in einer Ebene liegen, 
and bilden die Dreiecke ABC, BCD, CDE, DEA, EAB, FAC, FCE, FEB, FBD, 
FDA. Das aus ihnen bestehende Polyeder hat 6 Ecken, 15 Kanten und 10 Flächen, 
lie sämtlich Dreiecke sind. Es ist daher e+f=k+1,D=2(e—1). Wir fügen 
aoch die Punkte P, Q, R, S hinzu, von denen die drei ersten im Innern des Dreiecks 
ABC liegen, während der Punkt S keiner Ebene angehören soll, die durch irgend 
irei von den übrigen Punkten gelegt werden kann. Die Dreiecke SPQ, SQOR, SRP 
sollen mit dem Ebenenteile, der zwischen den Dreiecken ABC und PQR liegt, und 
mit den übrigen neun Dreiecken des ersten Polyeders zu einem neuen Polyeder ver- 
3inigt werden. Da hierfür e = 10, f= 18, k= 21, D=18 ist, wirde +f=k+2,D=2 
e— 1). 
Weitere Beispiele sollen in Nr. 3 angegeben werden. 
2, Behandlung des Eulerschen Satzes in den Lehrbüchern, Wenn die 
Gültigkeit eines Satzes an bestimmte Bedingungen geknüpft ist, so muß ein Beweis, 
ler auf Strenge Anspruch machen will, diese Bedingungen zum Ausdruck bringen. 
Dennoch sprechen die meisten Lehrbücher den Satz als allgemein gültig aus. Daß dann 
auch die beigebrachten Beweise nicht streng sein können. versteht sich von selbst. 
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