279 8 16. Der Eulersche Lehrsatz 
von aller Metrik. Daher muß man danach streben, sich beim Beweise auf die Axi- 
ome der Verknüpfung und der Anordnung zu beschränken. Die beiden letzten 
Methoden entsprechen hiernach dem Charakter des Satzes zu wenig. Will man 
sich nicht damit begnügen, den Satz zu beweisen, sucht man vielmehr den Schüler 
auch mit seiner Natur vertraut zu machen, so muß man auch beim Unterricht diese 
beiden Beweise verwerfen. 
Daß es nicht gestattet ist, sich beim Beweise des Eulerschen Satzes, wie zu- 
weilen geschieht, auf die „Anschauung“ zu berufen, brauchen wir wohl nicht zu er- 
yähnen. Ein geometrischer Satz kann nur dann als bewiesen gelten, wenn er auf 
Axiome zurückgeführt ist. 
3. Der Grad des Zusammenhanges eines Polyeders. Um 
aine (analytische) Funktion eines komplexen Arguments zu erforschen, 
oreitet Riemann die Variabele auf eine gewisse Fläche aus. Alsdann 
hängen die Eigenschaften der Funktion sehr eng mit den Eigenschaften 
der Fläche zusammen. Auf einer solchen Fläche werden verschiedene 
Schnitte ausgeführt, die sich als Querschnitte und Rückkehrschnitte 
anterscheiden lassen. Um den ersten Begriff zu bilden, muß man an- 
nehmen, daß die Fläche eine oder mehrere Randkurven besitzt. Kin 
Querschnitt soll von einem Randpunkte zu einem anderen Randpunkte 
führen, ohne in seinem Verlauf den Rand zu berühren oder zu über- 
schreiten. Dagegen wird ein einfach geschlossener Schnitt, der den 
Rand weder berührt noch überschreitet, ein Rückkehrschnitt genannt. 
Einer solchen Fläche legt man einen einfachen Zusammenhang bei, 
wenn sie durch jeden Querschnitt zerlegt wird. Wenn dagegen N—1 
Querschnitte möglich sind, die die Fläche nicht zerteilen,. aber im Verein 
mit jedem N’ Querschnitt eine Zerlegung herbeiführen, so sagt man, 
lie Fläche habe einen N-fachen Zusammenhang. Der Grad des Zu- 
zsammenhanges der Fläche, auf der die Variabele ausgebreitet wird, ist 
von wesentlicher Bedeutung für die Funktion. 
Auch die Polyeder unterscheiden wir nach ihrem Zusammenhang. 
Dabei beschränken wir uns aber auf Schnitte, die sich aus geraden 
Strecken zusammensetzen; meistens lassen wir sogar die Streckenzüge 
aur aus Kanten bestehen, Während wir uns aber ın 8 15,.1 genötigt 
sahen, ein Polygon aus mehreren Zweigen bestehen zu lassen, und dem- 
gemäß auch in Nr. 1 dieses Paragraphen den zwischen zwei einfachen 
Polygonen enthaltenen Teil einer Ebene als eine einzige Fläche ansahen, 
werden wir hier genötigt, jeder Fläche einen einzigen geschlossenen 
Streckenzug zuzuweisen. Wenn getrennte Polygone in einer Ebene liegen, 
so nehmen wir noch Streckenzüge hinzu, die von dem einen zu einem 
anderen Polygon führen. Wir wollen dadurch erreichen, daß jede Fläche 
in einem einzigen Polygon begrenzt wird und daß an jeder Kante zwei 
Flächen zusammenstoßen. Dementsprechend setzen wir voraus, daß jede 
einzelne Fläche des Polyeders einfachen Zusammenhang hat. 
(ndem wir diese Vorschrift beachten, gelten die beiden Sätze: