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Grad des Zusammenhanges von Polyedern 273 
Für jedes Polygon von einfachem Zusammenhang gilt der Eulersche 
Satz (Formel (1), 
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Wenn zwischen der Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen eines 
Polyeders die Formel (1) besteht, so hat es einfachen Zusammenhang. 
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Ehe wir auf diese Sätze näher eingehen, erläutern wir den Grad des Zusammen- 
aangs an einigen Beispielen.” Wir weisen zunächst darauf hin, daß der Begriff der 
Polyeder von einfachem Zusammenhang weit über den Begriff der konvexen Polyeder 
ainausgeht. Zu dem Ende errichten wir über dem beliebigen Polygon 4BCD... 
FGHI...LMN zwei Pyramiden, von denen die eine in P, die andere in Q ihren 
Scheitel hat. Dann bilden offenbar die Seitenflächen ein neues Polyeder, da in jeder 
Kante zwei verschiedene Dreiecke zusammenstoßen. Wenn die Mäntel einander 
Jurchsetzen, so ist der Übergang von einer Fläche zur anderen nur durch die Kanten 
3rmöglicht. Wir dürfen uns demnach den Zusammenhang der Flächen des neuen 
Polyeders nur durch die Kanten vermittelt denken. Indem man das beachtet, erkennt 
man, daß jeder einfach geschlossene Kantenzug das Polyeder in zwei einfach 
‚usammenhängende Teile zerlegt. Das ist sofort klar, wenn der Kantenzug durch 
keinen der beiden Scheitel hindurchgeht. Wenn aber der Kantenzug durch einen 
Scheitel geht, so besteht er aus zwei Seitenkanten einer Pyramide und einer ge- 
brochenen Strecke, die dem Grundpolygon angehört. Als Beispiel betrachten wir 
dien geschlossenen Kantenzug PABC... FG. Dieser zerlegt die Oberfläche in 
lie beiden Teile, von denen der eine aus den Dreiecken PAB, PBC,...PFG be- 
steht, während der andere die Dreiecke PG-H,... PNA und den zweiten Pyramiden- 
mantel umfaßt. Auch der geschlossene Streckenzug PAB... FG QLM, der durch 
Jie beiden Scheitel P und Q hindurchgeht, bewirkt eine Zerlegung der Oberfläche. 
Dem einen Teile gehören die an den Zug GH... L stoßenden Dreiecke, sowie die 
Dreiecke PAB, PBC,... PFG, PLM, dem anderen Teile die Dreiecke QAB, 
Q2BC,...QFG, QLM, sowie die Dreiecke an, die eine der Strecken MN, NA zu 
Seiten haben. Daß die beiden Teile, die man durch einen geschlossenen Kanten- 
zug erhält, jedesmal einfachen Zusammenhang haben, leuchtet sofort ein. 
Der durchgeführte Beweis bleibt ungeändert, wenn das Vieleck ABC... MN 
windschief ist. Indem man seine sämtlichen Seiten mit zwei Punkten P und Q 
lurch Dreiecke verbindet, erhält man ein Polyeder von einfachem Zusammenhang. 
Wir vereinigen jetzt zwei Prismatoide, die eine Grundfläche gemein haben, 
zu einem neuen Polyeder. Der Einfachheit wegen nehmen wir in drei parallelen Ebenen 
Polygone von gleicher Seitenzahl an. Es seien dies ABC... MN, A'B'0'...M'N' 
and A"B''0'" ...M'"N". Jetzt bilden: wir die Dreiecke AB A', A'’BB', BCB', 
B’CC',... und in gleicher Weise die Dreiecke ABA", A"BB",BCB",B"CC",... 
Diese 4n Dreiecke bilden mit den beiden Polygonen A'B'C'... M'N' und 
A”B"C"'...M'"N" ein Polyeder, das, wie eine leichte Umänderung der durch- 
yeführten Betrachtung zeigt, einfachen Zusammenhang hat. Für diese Untersuchung 
‚st es aber nicht notwendig, daß die Ebenen ABC, A'B'C' und A" B''C" parallel 
sind. Wir dürfen sogar das Polygon ABC... MN als windschief voraussetzen, 
öhne daß der einfache Zusammenhang verloren geht. 
Um ein Polyeder von mehrfachem Zusammenhang zu erhalten, gehen wir auf 
3in Polyeder zurück, das wir schon in Nr. 1 betrachtet haben. Wir nehmen in einer 
Zbene die Quadrate ABCD und «ßyd so an, daß das letztere ganz im Innern des 
arsteren liegt und entsprechende Seiten (z. B. A B und &«ß) jedesmal parallel sind. 
[ndem wir diese Figur zur Grundfläche eines geraden Prismas wählen und jedesmal 
den zwischen den Quadraten enthaltenen Ebenenteil als Grundfläche ansehen, finden 
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Killing u. Hovestadt: mathem. Unterricht II