Polyeder von einfachem Zusammenhang 275 
Nachdem wir v Kantenzüge gezogen haben, von denen der erste 
yeschlossen ist, während die anderen Eckpunkte desselben Teiles der 
Oberfläche verbinden und ganz dem Innern dieses Teiles angehören, 
fügen wir eine weitere gebrochene Strecke hinzu, die aus lauter Kanten 
besteht, zwei Eckpunkte desselben Teiles verbindet und ganz in seinem 
Innern verläuft. Dadurch mögen &@ Eckpunkte hinzugenommen werden, 
wo 8 auch gleich null sein kann. Bei diesen v+ 1 Prozessen seien 
k,1ı Kanten benutzt, e,41 Ecken erreicht und die Oberfläche in O1 
Teile zerlegt. Dann ist: 
BL = 6, +, kypı= kt OA, Dr = at 1=0+4+2 
Da für v = 1,2 die Beziehung besteht: 
(2 + Dr > ky + 2, 
yilt diese Beziehung allgemein. 
Mit dieser Operation können wir fortfahren, bis wir alle Kanten 
yezogen haben. Dann sind wir auch durch alle Ecken hindurchgegangen 
ınd haben das Polyeder in seine sämtlichen Polygone zerlegt. Daher 
silt die Formel (1) für alle einfach zusammenhängenden Polyeder. 
Wir fügen jetzt die Annahme hinzu, daß alle Polygone, aus denen 
das Polyeder besteht, einfach sind. Dann soll die Anzahl der vorhan- 
Jenen Dreiecke mit f;, die der Vierecke mit f,, der Fünfecke mit f; usw. 
bezeichnet werden. Es ıst also: 
FRA 
Indem wir jedes einzelne ”-eck durch %-3 Diagonalen in n-2 Drei- 
ecke zerlegen und die Anzahl der auf diese Weise erhaltenen Dreiecke 
mit D bezeichnen, wird: 
Dsf ft Bf af SPA Bf 
Die Anzahl der Winkel, die durch zwei benachbarte Kanten (d. h. 
Kanten, die einen Endpunkt gemein haben und demselben Polygon an- 
yehören) gebildet werden, sei gleich w. Beachtet man, daß jeder Kanten- 
winkel durch zwei Kanten gebildet wird und daß an jeder Kante zwei 
Polygone zusammenstoßen und sie demnach ein Schenkel für vier Winkel 
st, so erkennt man, daß w = 2% ist. Jeder Kantenwinkel kommt aber 
auch in einem einzigen Polygon vor. Daher ist auch: 
w=3ß +4fi +5f; +66 + =83f+f1 +26. +3 + 
Somit gilt die Gleichung: 
FE. 
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ei 
6 
„ 
w=D+2f. 
Indem man diesen Wert in die Gleichung einsetzt: 
De+ 23f= w + 4,