Determination einer Konstruktionsaufgabe 77 
Jer trigonometrischen Behandlung der Aufgabe hervor. Aus diesem 
Grunde geben die Lehrbücher vielfach die Determination in trigonome- 
trischer Form, selbst in Fällen, in denen sie die Analysis und den Beweis 
sein geometrisch durchführen. 
{ndessen müssen wir ausdrücklich hervorheben, daß die trigono- 
metrische Form der Determination nicht als voller Abschluß der Aufgabe 
„etrachtet werden kann. Ein geometrisches Problem verlangt, daß man 
fir seine Lösbarkeit überhaupt und für die Anzahl der verschiedenen 
Lösungen rein geometrische Bedingungen aufstellen kann. Demnach muß 
man bestrebt sein, die in trigonometrischer Form erhaltene Determi- 
nation geometrisch zu deuten; man darf das Problem nur dann als voll- 
ständig erledigt ansehen, wenn auch dieser Forderung genügt ist. So 
gelingt es uns, in den Nummern 16, 17 und 19 für zwei Dreiecksaufgaben, 
Jie mit Zirkel und Lineal nicht gelöst werden können, eine rein ge0- 
metrische Bedingung für die Möglichkeit der Lösung anzugeben. Bei 
den Aufgaben, die wir in den Nummern 18 und 20 behandeln, ist es uns 
nicht möglich, die trigonometrische Bedingung geometrisch zu deuten; 
die Lösung enthält also noch eine Lücke, die nicht leicht ausgefüllt 
werden kann. 
Aus alledem geht hervor, daß der Lehrer jede Aufgabe, die er 
seinen Schülern stellt, vollständig beherrschen muß. Er selbst muß die 
Schwierigkeiten, die sie bietet, und die Lücken, die etwa noch vorhanden 
sind, genau kennen, um den Nutzen ermessen zu können, der aus der 
Behandlung der einzelnen Teile der Aufgabe erwächst. 
2. Bedeutung der Trigonometrie für die Lösung geometri- 
scher Konstruktionsanufgaben. Ehe man an eine Konstruktions- 
aufgabe herantritt, tut man gut, zu prüfen, ob sie mit Hilfe von Zirkel 
and Lineal gelöst werden kann. Wird die Aufgabe einer Sammlung 
antnommen, die Unterrichtszwecken dient, so.mag man von der Prüfung 
absehen, weil man annehmen darf, daß der Verfasser die Lösung kennt. 
Wenn man aber durch eigene Untersuchungen auf eine Aufgabe geführt 
wird, deren Lösung Schwierigkeiten macht, so kann man sich nur da- 
durch vor dem annützen Verlust von Zeit und Mühe schützen, daß man 
sich zunächst von der Möglichkeit einer elementaren Lösung überzeugt. 
Zuweilen kennt man auch eine Reihe von Aufgaben, die äußerlich mit- 
ainander verwandt sind und nach gleichen Prinzipien gelöst werden, 
während der Reihe auch einige Aufgaben angehören, für deren Lösung 
man mit denselben Prinzipien nicht auskommt. In allen solchen Fällen 
ist es am besten, die Aufgabe zuerst auf trigonometrischem Wege zu er- 
ledigen. Wenn dann eine unbekannte Größe, etwa eine mit dem Problem 
zusammenhängende Strecke oder eine trigonometrische Funktion eines 
zu bestimmenden Winkels, Wurzel einer irreduzibeln Gleichung vom 
JIritten oder einem höheren Grade ist, so weiß man, daß Zirkel und Lineal 
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