Der ptolemäische Lehrsatz 15 
‚iehung (16) besteht, die Punkte in einer Ebene und speziell auf einem Kreise 
1eEgEN. 
Um uns hiervon zu überzeugen, brauchen wir nur die Inversion, die wir in 
[. 828 (S. 397 ff.) für die Ebene dargelegt haben, auf den Raum zu übertragen (vgl. 
38, 6.) Fassen wir die Ebene als Ausartung einer Kugel auf, so können wir sagen: 
Durch vier beliebig gewählte Punkte läßt sich mindestens eine Kugel legen. Wenn 
’etzt die Gleichung (16) besteht, so wählen wir einen Punkt, der einer durch die vier 
Punkte 4, B, C, D gelegten Kugel angehört, zum Zentrum der Inversion, Dann 
jegen, wie man leicht sieht, die ihnen entsprechenden Punkte und dementsprechend 
auch die gegebenen Punkte auf einem Kreise. 
In gleicher Weise erkennt man, daß jedesmal, wenn die Gleichung (16) besteht 
und drei von den vier Punkten A, B, C, D in gerader Linie liegen, auch der vierte 
Punkt dieser Geraden angehört. 
Möbius hat den ptolemäischen Lehrsatz in einer Weise aus- 
gesprochen, die unabhängig ist von der Art, wie die vier Punkte 4, 
B, C, D des Kreises aufeinander folgen. Zu dem Ende dürfen die Maß- 
zahlen der Strecken nicht sämtlich als positiy vorausgesetzt, vielmehr 
müssen ihre Vorzeichen auf geeignete Weise bestimmt werden. Möbius 
nimmt einen fünften Punkt P des Kreises hinzu, der mit keinem der 
gegebenen Punkte zusammenfällt. Um das Vorzeichen einer Sehne MN 
des Kreises zu bestimmen, denkt er sich, ein Punkt bewege sich in posi- 
siver Richtung auf dem Kreise von .M bis N; er legt dann der Sehne MN 
das negative oder das positive Zeichen bei, je nachdem hierbei der be- 
wegte Punkt durch P hindurchgeht oder nicht. Mit anderen Worten, er 
‚etrachtet die beiden Kreisbögen, für die 1X der Anfangs- und N der End- 
punkt ist, und von denen der eine von MM aus eine positive, der andere 
aine negative Richtung hat; er gibt der Sehne MN das positive oder das 
aegative Vorzeichen, je nachdem der Punkt P dem negativen oder dem 
positiven Bogen angehört. Die so bestimmte Maßzahl der Strecke MN 
soll mit MN bezeichnet werden. Hierbei ist offenbar MN + NM =0. 
Diese Bezeichnung wenden wir auf jede Seite des vollständigen 
Vierecks ABCD an, das in einen Kreis beschrieben ist. Dann gilt, wie 
wir nachweisen werden, bei jeder Anordnung der Punkte 4, B,C,D 
ınd bei jeder Wahl des Punktes P die Beziehung: 
(18) AB.CD+AC.DB+AD-.BC=0. 
Ehe wir zum Beweise selbst übergehen, wollen wir zeigen, daß 
Jiese Gleichung sich nicht ändert, wenn man die Punkte 4, 5, CO, D 
beliebig miteinander permutiert. Zunächst geht die Gleichung in sich 
selbst über, wenn man mit den Punkten B, C, .D eine zyklische Ver- 
tauschung vornimmt. Läßt man aber diese drei Punkte in umgekehrter 
Weise aufeinander folgen, so ändert nur jedes einzelne Produkt sein Vor- 
zeichen. Die Vertauschung der Punkte 4 und B führt die Gleichung (18) 
in die folgende über: 
BA-CD+BC.D4A+ BD-AC=0, 
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