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L6 8 1. Wissenschaftliche Bedeutung der ebenen. Trigonometrie 
die aus jener durch Multiplikation mit — 1 hervorgeht. Hiernach gilt 
die Gleichung (18) allgemein, sobald sie für eine einzige Anordnung der 
vier Punkte gilt, die durch irgendeine Permutation erhalten werden 
kann. 
Demnach wollen wir annehmen, die vier Punkte mögen bei einer 
Bewegung, .die vom Punkte P aus im positiven Sinne auf dem Kreise 
vor sich geht, in der Folge 4, B, C, D erreicht werden, mit anderen 
Worten, von den vier positiven Bogen PA, PB, PC, PD sei PA< 
PB<PC<PD. Dann erhalten in der Formel (18) alle Sehnen mit 
Ausnahme von DB das positive Vorzeichen. Es sind aber AB, BC, 
(CD, DA die Seiten, AC und BD die Diagonalen des konvexen Vierecks 
4BCD, und die Formel (18) geht in die Formel (16) über. Unter dieser 
Annahme ist also die Gültigkeit der Formel (18) bewiesen. 
Wenn aber die vier Punkte nicht in der angegebenen Weise auf- 
einander folgen, so permutiere man sie so, daß man, den Kreis von P 
aus im positiven Sinne durchlaufend, zuerst nach 4, dann nach B, Ö 
and D gelangt. Da jetzt die Gleichung (18), wie wir bewiesen haben, 
zültig ist, besteht sie auch für die ursprüngliche Anordnung der Punkte. 
Statt in dieser Weise die Vorzeichen der einzelnen Strecken zu be- 
stimmen, kann man mit Baltzer auch festsetzen, daß jedes der drei 
Produkte 4B-CD, AC-DB, AD-BC dasjenige Zeichen haben soll, 
welches dem entsprechenden Dreieck ACD, ADB, ABC unter Be- 
rücksichtigung seines Sinnes zukommt 
Der ptolemäische Lehrsatz, speziell in der Form der Gleichung (18), 
kann benutzt werden, um die Theorie der Kreisfunktionen einheitlich 
aufzubauen. Zu einem gegebenen Winkel nimmt man einen Kreis vom 
Durchmesser eins hinzu, der den einen Schenkel im Scheitel berührt, 
and legt mit Möbius der auf dem anderen Schenkel abgeschnittenen 
Sehne ein bestimmtes Vorzeichen bei. Hierdurch wird man auf den 
Sinus geführt und kann die für ihn geltenden Gesetze allgemein her- 
leiten. Der Übergang zu den übrigen Kreisfunktionen macht keine 
Schwierigkeit. Indessen entbehrt diese Methode der Natürlichkeit, durch 
lie sich der in den Nummern 4—6 dargelegte Weg in so hohem Grade 
auszeichnet. 
Auf die Methoden, die für den Unterricht von Bedeutung sind, 
gehen wir im folgenden Paragraphen ein. 
Die Kreisfunktionen haben für die höhere Mathematik, speziell für 
lie Algebra und die Funktionentheorie; hohe Bedeutung. Es ist sogar 
möglich, sich bei ihrer Einführung und ihrer Begründung von der Geo- 
metrie ganz unabhängig zu machen und rein analytische Methoden zu 
benutzen. Wenn es auch großes Interesse gewährt, zu sehen, wie Funk- 
tionen, die auf geometrischem Wege gefunden sind und zunächst geo- 
metrischen Zwecken dienen, nicht nur für die Analysis eine große Wichtig- 
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