316 8 18. Die regelmäßigen Körper in ihrer Beziehung zueinander 
Mit andern Worten: 
Dem regelmäßigen Dodekaeder lassen sich fünf Würfel so einschreiben, 
daß die Ecken eines jeden Würfels zugleich Eckpunkte des Dodekaeders 
3ind. 
Durch unsere Untersuchung ist die Frage noch nicht beantwortet, ob noch auf 
3ine andere Weise acht Eckpunkte des Dodekaeders so ausgewählt werden können, 
daß sie die Eckpunkte eines Würfels sind. Eine leichte Überlegung belehrt uns 
aber, daß diese Frage verneint werden muß. Sobald die EKekpunkte eines Würfels zu- 
yleich Eckpunkte eines regelmäßigen Dodekaeders sind, haben beide Körper die- 
selbe Umkugel. Daher müssen auch alle Würfel der angegebenen Art in der Länge 
der Kanten übereinstimmen. Aus den Diagonalen d lassen sich aber nur die fünf ge- 
fundenen Würfel bilden. 
Jede Diagonale einer Seitenfläche eines eingeschriebenen Würfels ist eine Dia- 
zonale d’ des Dodekaeders. Daher ist d’=dV2, wie man auch durch Rechnung 
änden kann, wenn man berücksichtigt, daß nach $ 17,8 (S. 301) d=w.-a,d"=0o-d 
und d”? + a? = d* +4 dd’? ist. 
Wir weisen noch darauf hin, daß die Existenz der eingeschriebenen Würfel 
auch durch Spiegelung an geeigneten Ebenen bewiesen werden kann. .Wir glauben 
aber, diesen Beweis nicht ausführen zu sollen. 
5. Vollständige Punktsysteme auf einem regelmäßigen Dodekaeder. Wie 
in Nr, 2 sehen wir zwei Eckpunkte eines Polyeders als benachbart an, wenn sie 
durch eine Kante miteinander verbunden sind. Außerdem sollen } Eckpunkte eines 
Dolyeders ein vollständiges Punktsystem bilden, wenn keine zwei von ihnen be- 
nachbart sind, aber jeder andere Eckpunkt des Polyeders wenigstens mit einem der 
zusgewählten Punkte durch eine Kante verbunden ist. Wir wollen alle vollständigen 
Systeme aufsuchen, die aus den Eckpunkten eines regelmäßigen Dodekaeders ge- 
oildet werden können. 
Von den ausgewählten | Punkten gehen 37 Kanten aus, deren Endpunkte sich 
auf die 20 — I ausgeschlossenen Punkte verteilen. Der zweite Endpunkt einer jeden 
Kante, die von einem der ausgewählten | Punkte ausgeht, gehört zu den 20 — I aus- 
geschlossenen Punkten. Umgekehrt wird jeder ausgeschlossene Punkt entweder 
durch eine oder durch zwei oder durch drei Kanten mit einem Punkte des Systems 
verbunden. Hiernach zerfallen die ausgeschlossenen Punkte in drei Klassen, indem 
man einen jeden unter ihnen der ersten, der zweiten oder der dritten Klasse zuweist, 
je nachdem er zu einem oder zu zwei oder zu drei Punkten des Systems benachbart 
ist. Der ersten Klasse mögen x, der zweiten y und der dritten z Punkte angehören. 
Dann ist xz +y +z=20-—lund2x-+y=60-— 6]. Außerdem sehen wir leicht, daß z 
aöchstens gleich zwei sein kann und daß mindestens eine der Zahlen y, z von null 
verschieden sein muß. Daraus folgt, daß I entweder gleich 6 oder gleich 7 oder 
zleich 8 ist. Unter neun beliebig ausgewählten Eckpunkten eines regelmäßigen 
Dodekaeders sind mindestens zwei einander benachbart. 
Ein vollständiges System von sechs Punkten auf einem regelmäßigen Dode- 
kaeder zerfällt auf die Art in zwei Tripel, daß die Punkte eines jeden Tripels einem 
von zwei Gegenpunkten benachbart sind (z= 2, y=0, x=12). Dieser Forderung 
genügen die Punkte B, E, F, B', E'’, F', von denen die drei ersten zu 4 und die 
drei letzten zu 4’ benachbart sind. Man kann einem regelmäßigen Dodekaeder zehn 
Prismatoide mit dreiseitigen Grundflächen einbeschreiben, deren Grundkanten sämt- 
ılch gleich d, deren Seitenkanten sämtlich gleich d’ und deren Diagonalen sämtlich 
gleich 27 sind. 
Auf recht verschiedene Weise lassen sich aus den Eckpunkten eines regel- 
mäßigen Dodekaeders sieben so auswählen, daß sie ein vollständiges System bilden.