Vollständige Punktsysteme auf einem Dodekaeder 317 
So kann man zu den Punkten 5, E, F, A’, €’, G' einen der Punkte H, X’ hinzu- 
fügen. Dabei ist 1=7, x="7, y=4,z7z=2. Zu denselben Zahlen gelangt man auf 
50 verschiedene Arten. Man kann aber auch zu den Punkten B, E, F, A' entweder 
das Tripel C’, I, K’ oder das Tripel D’, H, G’ hinzunehmen. In entsprechender 
Weise erhalten wir bereits 40 verschiedene Systeme, für die 1=7, z=y=6, 2=1 
ist. Dieselben Zahlen ergeben sich aber auch, wenn man mit 5, E, F, BB’, E' die 
Punkte H, I (60 verschiedene Fälle) oder mit 5, K, F, B', D', I einen der Punkte 
H, K' vereinigt (120 Fälle). 
Je acht Eckpunkte eines regelmäßigen Dodekaeders, die zugleich KEck- 
vunkte eines Würfels sind, bilden ein vollständiges System. Unter acht solchen 
Punkten finden sich keine zwei, die zueinander benachbart sind; dagegen wird jeder 
andere Eckpunkt des Dodekaeders mit zwei Eckpunkten des Würfels durch eine 
Kante verbunden. Umgekehrt sind acht Eckpunkte eines regelmäßigen Dodekaeders, 
von denen keine zwei durch eine Kante verbunden sind, jedesmal Eckpunkte eines 
Würfels. Man kann daher nur auf fünf verschiedene Arten acht Eckpunkte eines 
regelmäßigen Dodekaeders zu einem vollständigen System vereinigen. Dieser Satz 
kann erweitert werden. Man bilde ein Polyeder aus zwölf Fünfecken, die keiner 
weiteren Beschränkung unterliegen, als daß je zwei von ihnen in einer Kante über- 
einstimmen und je drei einen Eckpunkt gemein haben (Pentagon- Dodekaeder). Aus 
len Eckpunkten eines solchen Zwölffßachs lassen sich nur auf fünf verschiedene 
Weisen acht so auswählen, daß keine zwei benachbart sind. Bei jeder derartigen 
Wahl wird jeder andere Eckpunkt mit zwei Punkten des Systems durch eine Kante 
verbunden. Die Kanten des Dodekaeders zerfallen in zwei Gruppen, von denen die 
eine aus 24, die andere aus 6 Kanten besteht; jede Kante der ersten Gruppe ver- 
bindet einen Punkt des Systems mit einem ausgeschlossenen Punkte, während jede 
Kante der zweiten Gruppe von zwei ausgeschlossenen Punkten begrenzt wird. 
Eine genauere Besprechung der vollständigen Systeme, die aus den Eckpunkten 
eines regelmäßigen Dodekaeders gebildet werden können, würde zu weit führen. 
Wir beschränken uns auf folgende Bemerkung. Führt man ein regelmäßiges Dode- 
kaeder in seine Anfangslage zurück, so geht auch jedes aus seinen Ecken gebildete 
vollständige System in ein vollständiges System über. Ebensowenig verliert ein 
solches System den Charakter der Vollständigkeit, wenn man es an der Mittelebene 
irgendeiner Kante des regelmäßigen Dodekaeders spiegelt. Daraus geht unmittelbar 
naervor, daß je acht Eckpunkte, von denen keine zwei einander benachbart sind, 
die Ecken eines Würfels bilden. 
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6. Verschiedene Konstruktionen des regelmäßigen Dode- 
kaeders. Um ein regelmäßiges Dodekaeder zu konstruieren, kann man 
von einem Würfel ausgehen, dessen Eckpunkte zugleich Eckpunkte des 
Dodekaeders sind. Durch die Kante des Würfels ist auch die Kante 
des regelmäßigen Dodekaeders ihrer Länge nach eindeutig bestimmt. 
Man braucht aber nur die Lage einer einzigen Seitenfläche eindeutig 
zu bestimmen, um die Lage sämtlicher Eckpunkte des Dodekaeders an- 
zeben zu können. Wir fragen uns also, wie man an die Kante 4.D des 
gegebenen Würfels ADHG:H'G'A'D' das regelmäßige Fünfeck ABCDE 
anlegen muß, damit das über diesem Fünfeck errichtete regelmäßige 
Dodekaeder auch die Punkte G, H zu Eckpunkten hat. 
‚Hierbei kann man davon ausgehen, daß die Strecke BC von der 
Ebene ADH denselben Abstand hat wie die Ecke E von der Ebene 
ADH'. Durch diese Forderung ist die Lage der Punkte B, C, E bestimmt.