320 8 18. Die regelmäßigen Körper in ihrer Beziehung zueinander 
Der Beweis ist in den früheren Entwicklungen enthalten. Nachdem 
wir einem regelmäßigen Dodekaeder in der angegebenen Weise einen 
Würfel eingeschrieben haben, lassen wir die Punkte X, X’, Y, Y', Z, Z' 
mit den Fußpunkten der Senkrechten zusammenfallen, die vom Mittel- 
punkte auf die Grenzflächen gefällt werden können. Bei passender 
Wahl der Buchstaben X, Y, Z können wir erreichen, daß die konstruierten 
Strecken A4,, BB,, CC], A'A|, BBi, C'C| mit sechs Kanten des 
Dodekaeders identisch werden. Daher fallen nicht nur die Eckpunkte 
Jes Würfels, sondern auch die zwölf hinzutretenden Punkte mit Ecken 
Jes Dodekaeders zusammen, 
Wir können aber auch den Beweis unmittelbar an die Konstruktion 
anschließen. Dieser Weg empfiehlt sich schon aus dem Grunde, weil er 
ainen neuen Beweis für die Existenz des regelmäßigen Dodekaeders 
liefert. 
Die Punkte X, O0, Y sind drei Eckpunkte eines Quadrats, dessen 
vierter Eckpunkt mit £ bezeichnet werden soll. Die durch £ gehende 
Kante des Würfels werde mit DE bezeichnet, und zwar soll LD die 
Richtung von 0Z haben. Wir fällen von B die Senkrechte BN auf 
LY und ziehen die Strecken BD, BE, DA, EA,, LU. Dann ist, weil 
YV= VB ist, das Viereck VYNB ein Quadrat. Da YL = 0Y=$ 
and YN= YV = ist, wird auch YL in N stetig geteilt. Daher 
stehen BN und NL im Verhältnisse des goldenen Schnittes, Da aber 
0X= XL ist, verhält sich BN:NL=LX:XU. Somit sind auch 
die Winkel BLN und LUX einander gleich oder die Punkte 5, Z, U 
liegen in gerader Linie. Das ebene Fünfeck AA, KXBED liegt aber zu 
der Geraden BU symmetrisch. Zudem sind die Seiten BD, BE, AD, 
A,E einander gleich. Außerdem haben sowohl die Strecken BL und 
LU als auch die Strecken AA, und DE das Verhältnis des goldenen 
Schnittes. Daraus geht aber, wie wir jetzt zeigen wollen, hervor, daß 
das Fünfeck A4, EBD regelmäßig ist. Dabei wollen wir wieder das 
Verhältnis des goldenen Schnittes mit @ bezeichnen. 
Wir verlängern AD und A, E bis zu ihrem Schnittpunkt S, der 
mit den Punkten B, L, U in gerader Linie liegt. Dann verhält sich 
SL:SU=DE:4AA,=0:1, und LU: LB= 0:1, also auch LU: UL 
=w:1 und BU: UL=w:1. Hiernach ist BU = US und ASA4,B 
ein Rhombus. Treffen jetzt AB und DE im Punkte 7’ zusammen, so 
ist TE=A4A4,, AT=A,E=AD. Da AT und AB im Verhältnis des 
goldenen Schnittes stehen, ist << ADB= 108°. Weil aber sowohl DI 
und TE als auch BT und TA das Verhältnis @ haben, stehen auch 
DB und AE in diesem Verhältnisse. Daher ist auch << DBE = 108°. 
Hiernach ist DBEA ein gleichschenkliges Trapez, also auch DT =T BE, 
DE=A4B und somit A4,= AD. Da endlich wegen der Verhältnisse