$ 
ar. 
321 
4S:AD=0, AS:A4,=0 auch < AS A, =36° ist, sind die Winkel 
des Fünfecks 4 A, EBD einander gleich. 
Das gefundene Polyeder besteht hiernach aus zwölf regelmäßigen 
Fünfecken, von denen jedesmal drei in einem Eckpunkte zusammen- 
treffen. Daraus folgt aber, daß auch alle Flächenwinkel gleich sind. 
Das Dodekaeder ist somit regelmäßig. 
Dodekaeder und Würfel 
7. Der Pyramidenwürfel. Nachdem uns am Schluß der vorigen 
Nummer eine einfache Konstruktion vom Würfel zum regelmäßigen 
Dodekaeder geführt hat, liegt die Vermutung nahe, daß es möglich sei, 
vom Würfel aus durch Spezialisierung einer allgemeinen Theorie das 
regelmäßige Dodekaeder zu erhalten. Wir wollen die Richtigkeit dieser 
Vermutung im Anschluß an Holzmüllers „methodisches Lehrbuch“ 
beweisen. , 
Die Grenzflächen des Würfels QABC': B'CQ’A sollen mit (1), 
(2), (3), (1), (2"), (3') bezeichnet werden, und zwar soll sein: 
(1)=0QBAC, .(2)=0QCB'A, 6)=0QACB, 
WM=Q0'C'AB', @)= Q'A BC, (3)=Q'B'CA 
In den Mitten M,, M,, M,, M',, M',, M', der einzelnen Flächen 
1), ... (3) errichten wir auf ihnen die Senkrechten M, P,, M, P,, M, P;, 
M', P',, M'; P';, M';P'; von der gleichen Höhe A und fügen zu dem 
Würfel die Pyramiden M,: QBAC,... M';: Q'B'CA hinzu. 
Der auf diese Weise gebildete Körper wird als Pvramidenwürfel 
sezeichnet. 
Soll das neue Polyeder konvex sein, so darf der Winkel, unter dem 
die Ebene P,QB zur Ebene ÜQB geneigt ist, 45° nicht übersteigen, 
die Strecke h nicht größer werden als die Hälfte der Kante d des Würfels. 
Wenn der Winkel seinen größten Wert annimmt, also 24 = d ist, so 
fallen die Ebenen P, QB und P,QB zusammen. Überhaupt vereinigt 
sich jede Seitenfläche einer Pyramide mit einer Seitenfläche einer zweiten 
Pyramide. Daher sind die Kanten des Würfels nicht mehr Kanten des 
aeuen Polyeders. Der entstandene Pyramidenwürfel wird von zwölf 
Rhomben begrenzt und aus diesem Grunde als Rhombendodekaeder 
bezeichnet. Der Winkel BP, Q ist kleiner als ein Rechter. Während 
lie Diagonale QB des Rhombus P,BP,Q gleich d ist, wird die Dia- 
yonale P, P, gleich dV2. Das Rhombendodekaeder hat 12 Flächen, 
i4 Ecken und 24 Kanten. In dieser Form kristallisieren viele Mine- 
alien, z. B. der Granat. 
Wenn die Strecke h kleiner gewählt wird als die halbe Kante des 
Würfels, so erhalten wir einen Körper, der von 24 kongruenten gleich- 
schenkligen Dreiecken begrenzt wird. Die Zahl der Kanten ist 36, die 
ler Ecken gleich 14, Die sämtlichen Flächen haben vom Mittelpunkte 
Killing u. Hovestadt: mathem. Unterricht II 
a1 
A 
es 
han 
a 
X 
t 
X 
Rn 
Be 
$ 
X 
CC 
PUB 
Ss 
a 
AN 
DE 
Pa 
de