3929 8 18. Die regelmäßigen Körper in ihrer Beziehung zueinander 
jes Würfels gleichen Abstand; sie werden daher von einer Kugel be- 
rührt. Dagegen liegen die Punkte P,, P,, P;, P',, P';, P'z im allgemeinen 
nicht auf der Umkugel des Würfels. Soll sich durch die sämtlichen 
Ecken des Pyramidenwürfels eine Kugel legen lassen, so muß 2h = 
d (V3 — 1) sein. 
Aus den Grenzflächen des Pyramiden würfels lassen sich in doppelter 
Weise zwölf so auswählen, daß keine zwei von ihnen benachbart sind. 
Man kann seine Grenzflächen durch das Zeichen + und — in der Weise 
ınterscheiden, daß jedesmal zwei Flächen, die eine Kante gemein haben, 
verschiedene Vorzeichen erhalten. Gibt man z. B. dem Dreieck P,Q5 
das Zeichen +, so erhält auch P, A'C das Zeichen +, dagegen P,A'B 
und P,CQ das Zeichen —. Man muß jetzt auch P,QB und P,AC' 
mit +, P,BC' und P,AQ mit — bezeichnen. In gleicher Weise kann 
man aber fortfahren, bis man auf alle Seitenflächen des Pyramidenwürfels 
yekommen ist. Alsdann bilden sowohl die mit + als auch die mit — 
bezeichneten Flächen eine Hemiedrie des Pyramidenwürfels. 
Die Ebenen P,QC und P,A'B schneiden sich in der Geraden, 
die durch P, parallel zu QC und A'B gelegt werden kann. Diese möge 
von der Ebene P,QB in D, und von P',A'C in E, getroffen werden. 
Ebenso schneiden sich die Ebenen P,QA und P,B'C in einer Geraden, 
lie von der Ebene P,QC in D, und von der Ebene P',B'A in E, ge- 
schnitten werden möge. Die Ebenen P;QB und P,C'A mögen mit 
P,Q A in D; und mit P',C'B in E, zusammenstoßen. In gleicher Weise 
sollen die Punkte D',, E',, D';, E'z, D'z, E'z gefunden werden. Die 
Ebene P,QC enthält das Fünfeck D,E,CD,Q, das symmetrisch zur 
Halbierungslinie des Winkels CD, Q liegt und in dem die Seiten D, Q, 
D.C, CE, und PD, einander gleich sind. Die Hemiedrie des Pyramiden- 
würfels ist demnach eine spezielle Art des Pentagondodekaeders. Die 
Grenzflächen sind kongruente Fünfecke mit vier gleichen Seiten und 
zwei Paaren gleicher Winkel. 
Über dem Würfel QBA'C: AC'Q'B' lassen sich, nachdem noch 
die Länge h gegeben ist, zwei Pentagondodekaeder konstruieren, in 
deren Flächen die Kanten des Würfels so liegen, daß die. Ecken des 
Würfels auch Ecken des Dodekaeders sind. Die über dem Quadrate 
QBA'C gelegene Kante muß entweder zu QB oder zu QC parallel sein. 
Durch die Festsetzung, welcher von diesen beiden Strecken diese Kante 
parallel sein soll, ist das Dodekaeder eindeutig bestimmt. 
Das aus dem Pyramidenwürfel durch Hemiedrie gebildete Pentagon- 
dodekaeder wird regelmäßig, wenn die begrenzenden Fünfecke regel- 
mäßig sind. Dieser Fall tritt, wie aus den Entwicklungen der vorigen 
Nummer hervorgeht, jedesmal ein, wenn die Strecken 2d und h im Ver- 
hältnisse des goldenen Schnittes stehen. Das regelmäßige Dodekaeder