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ist demnach die Hemiedrie eines Pyramidenwürfels, der dadurch erhalten 
wird, daß man zur Höhe der auf den Seitenflächen des Würfels gesetzten 
Pyramiden den größeren Abschnitt der nach dem goldenen Schnitt ge- 
teilten halben Würfelkante wählt. 
Für das Pentagon -Dodekaeder, das aus dem Pyramidenwürfel als seine Hemie- 
irie erhalten wird, wollen wir einige Rechnungen ausführen.‘ Wie vorhin nennen 
wir d die Kante des Würfels, h den Abstand der Strecke D, E, von der Ebene Q BC. 
Außerdem soll D, E=a, BD, =b und der Winkel zwischen den Halbebenen P, QC 
and BQC gleich v gesetzt werden. Alsdann ist: ; 
2% . 2A 
tg v = BIN Da m zb 
Vas — (d— a) 
Da aber der Winkel, unter dem die Ebene K,Q CU gegen die Ebene AQC geneigt 
st, das Komplement des Winkels v beträgt, so folgt: 
cotg ELLE 
d—a Va A 
Hieraus geht hervor: 
’'8) 
d(d— a) = 4h?. 
Hiernach kann man das Pentagon-Dodekaeder im Anschluß an die Fest- 
zetzungen der vorigen Nummer (S. 319) in folgender Weise konstruieren. Man geht 
von drei Strecken d, a, h aus, zwischen denen die Beziehung (3) besteht und macht 
9X=>d, XU=hund UA=U4,=+a. 
Die drei Strecken b, a, d, die in den Grenzflächen des Dodekaeders vereinigt 
sind, können nicht willkürlich gewählt werden. Aus den Gleichungen (1) und (2) 
"olgt nämlich: 
tot d70, op AP 
© dd’ 8 4b — (d— a) 
Daraus geht die Beziehung hervor: 
Ab? = d? + d(d— a) + (d— a)? 
Diese Gleichung sagt aus: Legt man die Strecken d und d— a unter einem 
Winkel von 120° aneinander, so ist die dritte Seite des so entstehenden Dreiecks 
gleich 2b. 
Wenn umgekehrt die Bedingungen (8) und (5) erfüllt sind, so führen die Glei- 
chungen: (4) auf denselben Wert von v, der kleiner ist als 90°, und dieser genügt 
auch den Gleichungen (1) und (2). 
Der auf das Quadrat QBA'C aufgesetzte Körper kann aufgefaßt werden als 
ein Prismatoid. Der Mittelschnitt ist ein Rechteck mit den Seiten 3 (d-+a) und 5-d. 
Daher ist es leicht, den Rauminhalt des Pentagon-Dodekaeders zu berechnen. 
Die Gleichung (5) zeigt, daß a nur dann gleich b werden kann, wenn diese 
Strecke der größere Abschnitt der nach dem goldenen Schnitt geteilten Strecke A d 
ist. Dann wird aber, wie die Gleichung (8) zeigt, 2h = a. 
Viele Kristalle haben die Form eines Pentagon-Dodekaeders, das die Hemiedrie 
3ines Pyramidenwürfels darstellt. Jedoch beschränkt sich die Natur auf solche 
Formen, bei denen die Strecken d und h in einem rationalen Verhältnisse stehen. 
Da diese Strecken beim regelmäßigen Dodekaeder ein irrationales Verhältnis haben, 
kommt dieser Körper nicht als Kristallform vor. 
EN 
PS 
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a = 
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KH SS 
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