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aingeführt haben. Wir haben dort die zwölf Flächen des Dodekaeders 
mit (0), (1), ... (5), (0’), (1), ... (5) bezeichnet. Jetzt soll für x = 0, 
1,... 5 der Punkt U, der Fläche (x) und der Punkt U, der Fläche (/x') 
zugeordnet sein. Demnach ist der Punkt U, der Schnittpunkt der Kanten 
AF', BG', CH',DI', EK'. Da die Fünfecke F"G/H'I'’K' und ABCDE 
ainander nach der Zahl © ähnlich sind, werden die Strecken FF” A, 
G'B usw. in. ihrem Schnittpunkte U, stetig geteilt. Daraus folgt bei- 
läufig, daß AU, =d ist. Entsprechendes gilt von dem Schnittpunkte U 
der Diagonalen BC’, GH, ID,... ID, FH, AK. Hiernach verhält sich 
DU: E'F'= AU, :AF'=1:0% Somit ist U,U, =<£- Die Kante 
des von den Ebenen des regelmäßigen Tetraeders gebildeten Zwanzig- 
Aachs ist demnach gleich dem größeren Abschnitt der stetig geteilten 
Kante des regelmäßigen Zwölfflachs. 
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9. Einige Folgerungen aus den gefundenen Sätzen. Nach- 
lem man in ein regelmäßiges Dodekaeder einen Würfel eingeschrieben 
hat, bleiben sechs Kanten übrig, die an keinen Eckpunkt des Würfels 
stoßen. Diese Gruppe von sechs Kanten zerfällt in drei Paare von Gegen- 
kanten, denen die Eigenschaft zukommt, daß die Kanten eines jeden 
Paares zu den Kanten der anderen Paare rechtwinklig geneigt sind. 
Zu jedem eingeschriebenen Würfel gehört eine solche Gruppe von 
Kanten. Die Gruppen, die verschiedenen Würfeln zugeordnet sind, haben 
keine Kante gemein, Daraus ergibt sich der Satz: 
„Die dreißig Kanten eines regelmäßigen Dodekaeders zerfallen da- 
Jlurch in fünf Gruppen von je sechs Kanten, daß man alle Kanten, die 
entweder einander parallel oder rechtwinklig zueinander geneigt sind, 
zu einer Gruppe vereinigt.“ 
Diesen Satz kann man auch in folgender Weise aussprechen: 
„Die fünfzehn Ebenen, die den Mittelpunkt mit den Kanten eines 
‚egelmäßigen Dodekaeders verbinden, zerfallen derart in fünf Tripel, daß 
lie Ebenen eines Tripels lauter dreirechtwinklige Dreikante miteinander 
bilden.“ 
Von der Richtigkeit des-Satzes, den wir in dieser doppelten Form 
ausgesprochen haben, überzeugt man sich auch in folgender Weise. 
Unter Beibehaltung der Bezeichnung, die wir am Schlusse von Nr. 6 
eingeführt haben, sei 44, eine Kante des Dodekaeders und O0 sein Mittel- 
punkt. Dann steht AA, auf der Geraden senkrecht, die den Punkt 0 
mit der Mitte U von AA, verbindet. Demnach sind auch die Punkte W 
und WW’ eindeutig bestimmt, da 0OW= OU ist und OW die Richtung 
A, A hat. Zugleich ist die dritte Gerade des Achsenkreuzes bekannt. 
Die Vertauschung der Punkte V, V' bedingt nur eine Anderung in 
der Bezeichnung, führt aber auf dieselben Kanten CC,, C’C',, BB