3928 8 18. Die regelmäßigen Körper in ihrer Beziehung zueinander 
B'B',. Dadurch sind aber auch die übrigen Eckpunkte des Dodekaeders 
gegeben. 
Man gehe -,von einer festen Seitenfläche des regelmäßigen Dode- 
kaeders aus, und nehme zu jeder ihrer fünf Kanten außer der parallelen 
Kante alle weiteren Kanten hinzu, die mit ihr rechte Winkel bilden. 
Dadurch erhält man fünf Gruppen von je sechs Kanten. Somit enthält 
jede solche Gruppe eine einzige Kante, die in einer festgewählten Seiten- 
Aäche des Dodekaeders liegt. 
Die Gruppe, in der eine gegebene Kante g enthalten ist, kann man 
auch in folgender Weise ermitteln. Man wählt eine Seitenfläche des 
Dodekaeders, in der diese Kante enthalten ist. Von dem Eckpunkt, der 
dieser Kante in dem erhaltenen Fünfeck gegenüberliegt, geht eine 
Kante q, aus, die dieser Fläche nicht angehört. Jetzt nimmt man eine 
Seitenfläche hinzu, in der die Kante g, liegt, und bestimmt in gleicher 
Weise eine Kante qg,. Dann führt dieselbe Operation, auf qg„, angewandt, 
entweder zu der Kante g zurück oder auf ihre Gegenkante q'. Hätte 
man die andere Seitenfläche benutzt, in der g liegt, so würde man statt q;, 
‘hre Gegenkante g', erhalten. Man sieht, daß die sechs Kanten g, g', 
11» In 9er do ein abgeschlossenes System bilden, das die angegebene 
Eigenschaft hat. / 
Mit jedem Paare von Gegenkanten eines regelmäßigen Dodekaeders 
haben zwei Diagonalen der Art d” dieselben Endpunkte. So haben bei 
der zuletzt benutzten Bezeichnung die Gegenkanten AA, und A'A| 
Jlieselben Endpunkte, wie die Diagonalen 44] und 4'A4,. Diese beiden 
Diagonalen sind zu den Kanten BB, und B'B] parallel und zu den 
Kanten CC, und C’C! rechtwinklig geneigt. Daher bilden auch die 
Diagonalen 4 A!, 4'A,, BB, B'B,, CC|, C'C, drei Paare von Gegen- 
liagonalen d” von der Beschaffenheit, daß die Diagonalen eines jeden 
Paares zu den Diagonalen der anderen Paare rechtwinklig geneigt sind. 
Somit gilt auch für die dreißig Diagonalen d' derselbe Satz, den wir 
soeben für die Kanten ausgesprochen haben. Wir dürfen demnach sagen: 
„Vereinigt man mit jeder Diagonale d” eines regelmäßigen Dode- 
zaeders alle Diagonalen derselben Art, die ihr entweder parallel sind 
oder mit ihr rechte Winkel bilden, so erhält man fünf Gruppen von je 
sechs Diagonalen.“ 
Die Kanten der in ein regelmäßiges Dodekaeder eingeschriebenen 
Würfel sind Diagonalen der Art d. Diese sechzig Diagonalen lassen sich 
daher in fünf Gruppen von je zwölf so zerlegen, daß die Diagonalen 
derselben Gruppe Kanten eines Würfels sind. Vereinigt man mit einer 
beliebigen Diagonale d alle Diagonalen dieser Art, die entweder zu ihr 
parallel sind oder mit ihr rechte Winkel bilden, so erhält man eine 
Gruppe von zwölf Diagonalen, die zugleich die Kanten eines Würfels 
sind. ;