336 8 18. Die regelmäßigen Körper in ihrer Beziehung zueinander 
sollen die gleichen Strecken A Az: und B'B. kleiner sein als die Hälfte 
von AB. Das abgestumpfte Oktaeder enthält acht Sechsecke (z. B. 
Ap4AcC4CzBcB.) und sechs Vierecke (z. B. Ag Ac4z'Ac'). Jedes Sechs- 
eck dieser Art hat sechs gleiche Winkel und drei Paare gleicher Seiten. 
Die Vierecke sind lauter Quadrate. Die sämtlichen Eckpunkte liegen 
auf einer Kugel; dagegen ist die Kugel, von der die acht Sechsecke 
berührt werden, im allgemeinen von der Kugel verschieden, die die 
sechs Quadrate berührt. 
Die 24 Eckpunkte des neuen Polyeders können auf die Weise in 
zwei Gruppen von je zwölf zerlegt werden, daß keine zwei benachbarte 
Punkte derselben Gruppe angehören. In jeder Gruppe betrachten wir 
zwei Punkte als benachbart, wenn sie nur durch einen Punkt der anderen 
Gruppe voneinander getrennt sind. Alsdann führt jede Gruppe auf ein 
Polyeder, das 20 Flächen, 12 Ecken und 30 Kanten hat. Die eine 
Gruppe besteht aus den Punkten Az, Be, Ca, Az‘, Ber, Car Bo, Oh, Ac, 
Ak‘, Be, Ohr. Die Kanten AzBe; ArBe', BecCa, BoCar, C44Az, C14z-, 
‚.. sind einander gleich, aber im allgemeinen von den Kanten 4z4z', 
BeBe', C4Ca', Ar Ar, BeBlr, ChCh-, die untereinander dieselbe Länge 
haben, verschieden. 
Die Strecke AgA4z' wird von dem Radius 0A der Umkugel des 
Oktaeders halbiert und steht auf ihm senkrecht. Daraus folgt, daß 
UAzg=UAist Die Eckpunkte des neuen Polyeders können somit durch 
folgende einfache und übersichtliche Konstruktion gefunden werden. 
Man geht von einem rechtwinkligen Achsenkreuz aus und trägt auf 
seinen. Geraden vom Scheitel O0 die gleichen Strecken OU, OU’, OV, 
0V', OW, OW' ab. In U läßt man die Strecke A, A, in U' die Strecke 
A'A', in V die Strecke B, B, in V' die Strecke B'B!, in W die Strecke 
7,C und in W' die Strecke C’C, halbiert werden, von denen die beiden 
ersten die Richtung OW, die beiden folgenden die Richtung OU und 
die beiden letzten die Richtung OV haben. Diese sechs Strecken sollen 
untereinander gleich und kleiner als UU' sein. Die zwölf Punkte 4, 
A,, 4A', Aı, B, Bı, B', Bl, CO, C., CU, Ci sind die Eckpunkte eines 
Zwanzigflachs, das aus dem regelmäßigen abgestumpften Oktaeder da- 
durch erhalten wird, daß man aus seinen Eckpunkten zwölf auswählt, 
von denen keine zwei benachbart sind. 
Stehen die Strecken UU' und AA, im Verhältnisse des goldenen 
Schnittes, so werden die sämtlichen Kanten des Zwanzigflaches einander 
gleich. Da sich außerdem um das Polyeder eine Kugel beschreiben 1äßt, 
zo liegen die zweiten Endpunkte der von einem beliebigen Eckpunkte 
ausgehenden. Kanten auf einem Kreise. Sie sind die Ecken eines regel- 
mäßigen Fünfecks. Somit bilden die Kanten, die in einem Eckpunkt 
des Polyeders zusammenstoßen, ein regelmäßiges Fünfkant. Bei dieser 
Wahl des Verhältnisses UU': AA, sind die zwölf Punkte, die nach der