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Vier-, Sechs-, Acht- und Zwölfteilung 339 
Will man die Vierteilung direkt vornehmen, so kann man etwa vier 
Punkte 4, B, C, D auf der Kugel so bestimmen, daß die sphärischen 
Dreiecke ABC, ACD, ADB gleichseitig sind. Dann ist auch das Drei- 
eck BCD gleichseitig und zu den drei ersten kongruent. Der Mittelpunkt 
les Dreiecks BCD ist der Gegenpunkt 4' von A. Überhaupt sind die 
Gegenpunkte der vier Eckpunkte die Mittelpunkte für die Umkreise der 
vier Dreiecke. 
Von der Vierteilung kann man wieder leicht zur Sechs- und zur 
Achtteilung übergehen. 
3. Die Zwölfteilung der Kugel. Das regelmäßige sphärische Fünf- 
eck, dessen Winkel gleich 120° sind, stellt den zwölften Teil der Kugel 
dar. Es ist nicht gerade schwer zu zeigen, daß sich die Kugelfläche in 
zwölf derartige Fünfecke zerlegen läßt. Indessen ziehen wir es vor, die 
Zwölfteilung auf die Sechsteilung zurückzuführen. 
Es seien EFDG Aund EFÜH B zwei regelmäßige sphärische Fünf- 
ecke der angegebenen Art, die in der Seite KF zusammenstoßen. Dann 
sind die Dreiecke ABE, CBH, CDF und ADG kongruent. Also ist 
ABCD ein regelmäßiges Viereck mit dem Winkel von 120°, oder der 
sechste Teil der Kugel. Wenn umgekehrt ABCD lauter gleiche Seiten 
and lauter Winkel von 120° hat, so konstruiere man über AB, UD und 
DA als Grundlinien die gleichschenkligen Dreiecke ABE, CDF und 
4DG so, daß in ihnen die Winkel an der Spitze gleich 120° sind und 
daß die beiden ersten in das Innere, das letzte in das Äußere des Vierecks 
fallen. Ist M die Mitte des Vierecks, so sind die Winkel AMB und 
CÜMD Rechte. Daher fällt £ in das Innere des Dreiecks AMB, F in 
las Innere von CMD. Das Fünfeck AEFDG- hat fünf gleiche Winkel 
and die vier gleichen Seiten EA, AG, GD und DF. Verschiebt man 
es so, daß E auf 4 und 4 auf G fällt, so kommt G auf D und D auf F 
zu liegen. Da hierbei der Punkt F auf den Schnitt der Halbstrahlen FE 
and AE, also auf den Punkt £ fällt, so ist das Fünfeck 4EFDG regel- 
mäßig. ; 
Das Viereck ABCD ist in vier Teile zerlegt; zwei von ihnen sind 
gleichschenklige Dreiecke, die beiden andern symmetrische Vierecke mit 
Irei gleichen Seiten und zwei Paaren gleicher Winkel (Trapeze). Nehmen 
wir zu den vier Punkten A, B, C,.D ihre Gegenpunkte 4’, B', C', D' 
hinzu, so können wir die regelmäßigen Vierecke bilden: 
(a) 4BCD, C'ABD', B'C' AD, A'B'C'D', CA'B'D, BCA'D' 
Hier hat jedes Viereck mit dem folgenden, dem zweitfolgenden, dem 
vorangehenden und dem zweitvorangehenden eine Seite gemein, und zwar 
ist jedesmal die erste Seite eines Vierecks die zweite des folgenden, die 
zweite Seite erste des vorangehenden, die dritte Seite je vierte Seite des 
zweitvorangehenden und die vierte Seite die dritte des zweitfolgenden. 
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