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B', C', D', E' und die entsprechenden Dreiecke hinzu, so läßt sich leicht 
zeigen, daß die Dreiecke ABD', BC E', CDA', DEB', EAC' und ihre 
Gegendreiecke gleichschenklig und zueinander kongruent sind. Zudem 
ist jedes von ihnen gleich dem zwanzigsten Teile der Kugel. Da aber 
gleichschenklige Dreiecke von gleicher Grundlinie und gleichem Inhalt 
auch in der Höhe übereinstimmen, so sind auch die neuen Dreiecke zu 
PA B kongruent. Demnach ist die Kugel in zwanzig kongruente gleich- 
seitige Dreiecke zerlegt, 
Die sphärische Strecke P'A wird durch ihren Schnitt mit der Seite 
0'D' halbiert. Da sie hiernach gleich der doppelten Höhe des Dreiecks 
PAB ist, so folgt: 
029 + 29 = 180°. 
Diese Relation kann noch in anderer Weise hergeleitet werden. Wenn 
jeder Winkel des Dreiecks 4 BC 72° beträgt, so konstruieren wir über der 
Seite BC nach außen das Dreieck BC U so, daß << UBC=172* und << UCB 
=36° wird. Ebenso soll über CA das Dreieck CA V konstruiert werden, 
in dem & VCA=172°, Z VAC=36° ist; endlich über AB das Dreieck 
ABW mit < WAB=172°, <x WBA=36°. Dann ist UV W ein Drei- 
eck mit drei rechten Winkeln, auf dessen Seiten die Punkte 4, 5, C liegen. 
Man bemerkt das leicht, indem man die Dreiecke betrachtet, in die 4BC 
zerlegt wird, wenn man eine seiner Ecken mit dem Mittelpunkte der gegen- 
überliegenden Seite verbindet. 
Diese Relation kann benutzt werden, um zwanzig gleichseitige Drei- 
scke vom Winkel 72° so aneinander zu reihen, daß sie die Kugel bedecken. 
Einfacher ist es aber, von der Achtteilung auszugehen und ein gleich- 
seitiges Dreieck ABC hinzuzunehmen, dessen Winkel gleich 72° sind. 
Es seien U, V, W die Eckpunkte eines dreirechtwinkligen Dreiecks 
and U', V', W' ihre Gegenpunkte. Wir bilden die acht Dreiecke UV W, 
U'VW, UV'W, UVW', UV'W', UVYW', U'V'W, U'V'W' und 
nehmen sie in dem durch die Reihenfolge der Eckpunkte bezeichneten 
Sinne. Dann hat jede Seite in den beiden Dreiecken, denen sie angehört, 
dieselbe Richtung. Um die Mittelpunkte dieser acht Dreiecke beschreiben 
wir Kreise mit dem Umkreisradius des Dreiecks 4 BC und wählen auf 
jeder Seite den Schnittpunkt, der dem zweiten Endpunkte am nächsten 
liegt. Die zwölf so erhaltenen Punkte sind die Eckpunkte der Zwanzig- 
beilung. Daraus ergibt sich der Lehrsatz: 
„Die Seiten der zwanzig Dreiecke, in die eine Kugel zerlegt werden 
xann, gehören fünfzehn sphärischen Geraden an. Jede dieser Geraden 
steht auf zwei von ihnen senkrecht. Aus diesen Geraden können auf fünf 
verschiedene Arten drei so ausgewählt werden, daß sie die Kugel in acht 
dreirechtwinklige Dreiecke zerlegen.“ 
5. Nachträgliche Bemerkung. Die sphärischen Strecken, die bei der 
Teilung der Kugel in lauter regelmäßige Polygone auftreten. lassen sich so leicht 
Zwölf- und Zwanzigteilung 
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