3492 8 20. Grundformeln der sphärischen Trigonometrie 
durch Zeichnung gewinnen, daß ihre Berechnung überflüssig ist. Immerhin bietet 
die Berechnung einen passenden Übungsstoff für die sphärische Trigonometrie. 
Auch gewährt es einiges Interesse, die durch die geometrische Betrachtung ge- 
wonnenen Sätze durch Rechnung zu verifizieren. Zuweilen können die Ergebnisse 
der Rechnung für die Konstruktion verwertet werden. So ist es sehr leicht, die 
Kugel in zwanzig gleichseitige Dreiecke zu zerlegen, wenn man sich auf die 
Heichung stützt: tg a, = 2. 
Ss 20. Grundformeln. der sphärischen Trigonometrie. 
l. Die Begründung der sphärischen Trigonometrie durch 
Möbius. Erst in $ 25 werden wir den Begriff des sphärischen Drei- 
ecks im Anschluß an Möbius, Gauß und Study erweitern. In diesem 
und den zunächst folgenden Paragraphen beschränken wir uns auf das 
sogenannte Kulersche sphärische Dreieck, dessen Seiten und Winkel 
sämtlich kleiner sind als 180°. Auch in der Bezeichnung schließen wir 
ıns ganz an Kuler an. 
Um die Methode darzulegen, nach der Möbius die Grundformeln 
der sphärischen Trigonometrie entwickelt, knüpfen wir an die Er- 
örterungen von $ 1, 4—6 (S. 7—12) an. Dort nahmen wir zu drei Ge- 
raden g, h, k einer Ebene eine beliebige Gerade ] des Raumes hinzu. 
Jeder Geraden legten wir eine bestimmte Richtung und außerdem der 
Ebene der Geraden g, h, k einen bestimmten Sinn bei. Die Winkel (A &), 
*k g), (g h) bestimmten wir durch die Drehung, die jedesmal der erste 
Schenkel ausführen muß, um in die Lage des zweiten übergeführt zu 
werden, und legten ihm das positive oder negative Vorzeichen bei, je 
nachdem der Drehungssinn mit dem der Ebene übereinstimmt oder nicht. 
Dagegen verstanden wir unter (7 g), (£ h), (1 k) die drei Winkel, die die 
positive Richtung der vierten Geraden je mit der positiven Richtung 
einer der ersten Geraden bildet. Alsdann gilt. wie wir gezeigt haben, 
die Formel: 
(1) sin (Ak) cos (lg) + sin (kg) cos (Ih) + sin (gh) cos (Ik) = 0. 
Aus dieser Formel leitet Möbius die Grundformeln der sphärischen 
Trigonometrie her. 
Das sphärische Dreieck 4 BC soll in dem Sinne durchlaufen werden, 
der durch die Folge der Buchstaben angedeutet wird. Man trägt in der 
Richtung des Bogens CA den Bogen AM = z und in der Richtung des 
Bogens AB den Bogen AN= % ab. Dann ist CM=b+5, BN=BA 
+ 4N=AN— AB=7—c. Nach den Punkten 4, B,C, M, N zieht 
man vom Mittelpunkte O der Kugel die Radien 72, 7%, 7%, m, Yn und legt 
jedem Radius die Richtung bei, die vom Mittelpunkte nach der Ober- 
Aäche der Kugel führt. Da die Geraden 7,, 72, rm einer Ebene angehören,