Begründung durch Möbius 343 
kann man auf sie unter Hinzunahme von 7, die Gleichung (1) anwenden. 
Indem man dann berücksichtigt, daß ist: 
(Talm) = S (Imre) = — (Folm) = —b— 5 (r;ra) = b, 
(Tre) = qq, (Tora) = — (Yarı) = — (rıtm) = BM, 
arhält man die Gleichung: 
cos a — cos b cos c + sin b cos BM = 0. 
Man kann aber auch zu den Richtungen 7, 7%, 72, die ebenfalls in 
3jner Ebene liegen, die Richtung 7, hinzunehmen. Dann ist: 
(rorn) = 5 —C, (YnTa) = — (Yatn) = — z , (ats) = C, 
Tara) = — (atm)=— 37 (Fmtı) = MB, (Fmtn) = 3 — &. 
Die Gleichung (1) führt also auf die Beziehung: 
— cos MB — sin € cos « = 0. 
Da aber cos MB = cos BM, werden wir auf die Gleichung geführt: 
cos @ = cos b cos c + sin b sin c-cos «. 
Die- beiden entsprechenden Gleichungen erhält man durch zyklische 
Vertauschung der Seiten. 
Po i 
N 
x PS 
a 
= 
le 
a 
B 
Ba 
wo 
ee BA 
5% 
Na 
SE 
LO 
® 
Ku] 
2. Herleitung der Grundformeln der sphärischen Trigo- 
nometrie mit Hilfe der analytischen Geometrie. Das Dreikant 
0(4BC) bringt man in Zusammenhang mit zwei rechtwinkligen Ko- 
ordinatensystemen, von denen das eine mit x, y, 2, das andere mit x', y', 2' 
bezeichnet werden soll. Beide sollen in O0 ihren Mittelpunkt haben; zu- 
dem sollen die zx- und die 2'x'-Ebene beide mit der Ebene 0AB zu- 
sammenfallen. Der Halbstrahl 04 soll mit der positiven 2'- Achse, der 
Halbstrahl OB mit der positiven 2- Achse zusammenfallen. Um die posi- 
tiven Richtungen der beiden andern Achsen, die in der Ebene 04 B liegen, 
zu bestimmen, setzen wir fest, daß die Dreiecke 0 AB, 0Z'X' und 0ZX 
denselben Sinn haben sollen. Mit andern Worten: Wir drehen die Ebene 
0AB um O in dem Sinne, in dem sich ein beweglicher Halbstrahl inner- 
halb des Winkelfeldes 0 AB um O drehen muß, um aus der Richtung 0.4 
in die Richtung OB übergeführt zu werden; dann soll eine Viertelum- 
drehung den Halbstrahl 0Z' nach 0X’ und den Halbstrahl 0 Z nach 0X 
3ühren. Setzen wir noch < 40B =c, so bilden die positiven Achsen der 
x, 2 mit denen der x', 2' die Winkel: 
ae)= — 6, (x8')= — zz — cc, (8w')= T —C, (288)=-—C. 
Demnach gehen aus den bekannten Gleichungen der analytischen 
Geometrie: / 
X = z' cos (xzx') + 2' cos (x2'), = wm' cos (2x') + g' cos (2@')