344 8 20. Grundformeln der sphärischen Trigonometrie 
die Beziehungen hervor: 
(2) X=a'cosc—2'since, Z2z=x sinc+22'cosc. 
Die positive y'- Achse soll mit der positiven y - Achse zusammenfallen 
and auf derjenigen Seite der Ebene 04B liegen, der der Punkt € an- 
gehört. Dann ist y = y/. 
Der Halbstrahl 0OC werde auf die zy- und die x'y'-Ebene projiziert. 
Die erstere Projektion bilde mit der positiven x-Achse den Winkel ß’, 
die zweite mit der positiven x'- Achse den Winkel @«’', wobei der Sinn der 
Drehung so gewählt werden soll, daß eine Viertelumdrehung im ersten 
Falle die positive x- Achse in die positive y- Achse und im zweiten Falle 
die positive x'- Achse in die positive y'- Achse überführt. Setzen wir noch 
X COA=b, XCOB=20, 0C=r, so ist offenbar: 
X =Yresinacosß', y=rsinasinß', 2 =rTcosa, 
z’'=rsinbcos«a', y'=rsinbsin«', 2'=r cos. 
Indem man diese Gleichungen mit den Gleichungen (2) und der 
Gleichung y = y' verbindet, erhält man die Beziehungen: 
sin a cos ß'= sin b-cos ccos «' — cos bsin c 
sin a sin ß' = sin b sin «' 
cos a = sin b-sin c-cos «' + cos b- cos c. 
Die Winkel «' und ß'’ ersetzen wir durch Winkel des Dreikants 
O(A4BC). Zu dem Zwecke bestimmen wir zwei Halbebenen, die beide 
auf der Ebene des Winkels ß'’ senkrecht stehen und von denen je eine 
durch einen Schenkel dieses Winkels geht. Die Ebene von ß' ist die 
zy-Ebene. Da aber der eine Schenkel von ß' die Projektion von OC auf 
die zy -Ebene ist, so geht die eine Halbebene durch OC; die andere ent- 
hält die positive x- Achse. Die beiden Halbebenen stoßen in der z- Achse 
(der Geraden 0.B) zusammen. Die erste geht durch den Halbstrahl 0C 
hindurch. Da die zweite Halbebene ebenfalls durch OB begrenzt wird 
und durch die positive xz- Achse geht, so gehört sie der Ebene 0A4B an, 
ohne den Halbstrahl 0A zu enthalten. Somit ist ß'= 180° — ß. 
Ebenso ist der ebene Winkel «' gleich dem Flächenwinkel der beiden 
durch O4, die 2’'- Achse, begrenzten Halbebenen, von denen die eine durch 
OC, die andere durch die x’'- Achse gelegt werden kann. Somit ist «'=«. 
Ersetzt man in den obigen Gleichungen w’ durch «, ß' durch 180° — ß, 
30 ergeben sich die Grundformeln der sphärischen Trigonometrie: 
(3) sin a cos ß = sin b-sin c — sin b-cos + cos « 
(4) sin d-sin ß = sin b-sin « 
(5) cos a = cos b-cos c + sin a-sin h-cos «. 
3. Die Grundformeln für das rechtwinklige sphärische Drei- 
eck. Wir nehmen an, die Ebenen 0C A und 0CB des Dreikants O(4 BC) 
ständen aufeinander senkrecht, sein Winkel v sei demnach ein Rechter.