Die Funktionen stumpfer Winkel 21 
Diese Gleichungen nehmen die frühere Gestalt an, wenn man den 
Sinus eines stumpfen Winkels durch die Gleichung definiert: 
(6) 
Y 
A. 
Al 
un 
BT 
rd 
8 
Ne 
.. 
Ebenso führt die Figur in dem Falle, daß der Winkel y stumpf ist, 
auf die Gleichungen: 
4=6-c0o8ß — b-cos (180° — y), b=c:co0s «x — a: cos (180° — 7). 
Diese Gleichungen werden aber mit den entsprechenden Gleichungen 
’4) identisch, wenn man den Kosinus eines stumpfen Winkels durch die 
Gleichung definiert: 
7) cos (180° — «) = — cos «. 
Die Gleichungen (6) und (7) lassen sich auch in der Form schreiben: 
8) sin (90° + «) = sin (90° — &«) = cos « 
9) cos (90° + x) = — cos (90° — «) = — sin &. 
Die Seite BC eines Dreiecks, in dem der Winkel ACB stumpf ist, 
stellt sich geometrisch als die Differenz der Projektionen der Seiten AB 
and CA auf die Seite BC dar. Um auch hier von einer Summe sprechen 
zu können, legt man der Projektion von CA auf CB ein negatives Vor- 
zeichen bei, indem man die Richtung der Projektion berücksichtigt. Ebenso 
hat man beim inneren Produkt zweier Strecken die Richtungen der beiden 
Strecken zu beachten, die zu Seiten des Rechtecks gewählt werden; je 
nachdem diese beiden Strecken gleiche oder entgegengesetzte Richtung 
haben, legt man dem inneren Produkte das positive oder das negative 
Vorzeichen bei. Diese geometrischen Beziehungen finden ihren kurzen 
Ausdruck in dem Satze: Der Kosinus eines stumpfen Winkels ist negativ. 
{ndem wir in dieser Weise den Kosinus stumpfer Winkel einführen, 
erhält der Kosinussatz allgemeine Gültigkeit. Wenn dann ein Winkel 
des Dreiecks stumpf ist, so muß man, um das Quadrat der Gegenseite 
zu erhalten, zu der Summe der Quadrate der einschließenden Seiten geo- 
metrisch noch ein doppeltes Rechteck hinzufügen, weil der Kosinus ein 
negatives Vorzeichen hat. Demnach werden wir zu dem Lehrsatze geführt: 
Das Quadrat über einer Seite eines Dreiecks ist kleiner, ebenso groß 
der größer als die Summe der Quadrate über den beiden anderen Seiten, 
je nachdem der Gegenwinkel der ersten Seite ein spitzer, ein rechter oder 
ein stumpfer ist. 
In gleicher Weise schließen sich an den Satz, daß der Kosinus fort- 
während abnimmt, wenn der Winkel von 0° bis 130° wächst, zwei Nicht- 
Kongruenzsätze des Dreiecks an, nämlich der Satz: „Wenn zwei Dreiecke 
in zwei Seiten übereinstimmen, der eingeschlossene Winkel im ersten 
aber größer ist als im zweiten, so ist auch die dritte Seite im ersten 
Dreieck erößer als im zweiten“, nebst seiner Umkehrung. Wenn nämlich 
= 
Dr 
S ve % 
K 
K 
A 
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