Herleitung durch eine ebene Zeichnung 349 
Um aus dieser Figur die Grundformeln der sphärischen Trigonometrie 
herzuleiten, empfiehlt es sich, die Strecke 0C = 0C, = 0C, zur Längen- 
zinheit zu wählen. Dann ist: 
C,Bı=sina, O0B,=cosa, C,4A,=sinb6, OA, = cos b, 
also: , | | 
C,H =sinasinß, C,H = sin b sin «. 
Da diese Strecken gleich sind, ergibt sich: 
sin a -sin ß = sin b-sin «. 
Fällt man noch von 4, die Senkrechte 4, D auf 05 und bezeichnet 
man mit E ihren Schnittpunkt mit C,H, so ist: 
A,H = sin b- cos «, 
B.D = A,‚H-sin c= sin b-sin c-cos «, 
0D=0414,-:cos c = cos bh: cos c. 
Weil aber 0B, = OD + DB, ist, werden wir auf die weitere Glei- 
z3hung geführt: 
cos a = cos b-cos ec + sin b-sin c-cos «. 
Endlich ist B,ıH = DE = DA, — KA,, also: 
sin @- cos ß = cos b-sin c — sin b-cos C- cos &. 
Diese Gleichungen kommen auf die Gleichungen (3), (4), (5) hinaus. 
7. Zusammenstellung der Grundformeln. Die Formeln: 
sin b sin y = sin c-sin ß 
(10) sin € sin «x = sin a sin 7 
sin a sın ß = sin b sin &, 
von denen eine unter (4) angegeben wurde, während die anderen aus 
ihr durch zyklische Vertauschung hervorgehen, stellen den Sinussatz 
der sphärischen Trigonometrie dar. 
Aus der Formel (5) geht der Kosinussatz für die Seiten oder 
wie man in neuerer Zeit lieber sagt, der erste Kosinussatz hervor. 
Er umfaßt die Formeln: 
A, 
SS 
E 
ST 
K 
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Bi 
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= A, 
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> 
a 
| cos a = cos b-cos € + sin b-sin c-cos « 
(11) cos b = cos c:cosa + sin c-sin a -cos ß 
| cos c = cos a-cos b + sin a-sin b-cos 7. 
Mit der Formel (3) kann man fünf weitere Gleichungen zusammen- 
stellen. Es genüge, zwei von ihnen hinzuschreiben: 
(12) sin C-COS « = cos a sin b — sin a cos b cos v 
sin C-cos ß = cos b-sin a — sin b cos a cos 7. 
Die sechs in dieser Weise gebildeten Gleichungen werden vielfach 
(u. a. von Hammer in seinem „Lehrbuch der ebenen und sphärischen