350 $ 20. Grundformeln der sphärischen Trigonometrie 
Trigonometrie“) nach einem Vorschlage von Eberhard als der Sinus- 
Kosinussatz bezeichnet. 
Wichtiger als die Formeln (12) sind die Formeln, die aus (9) durch 
Polarisation gewonnen werden. Zu dem Ende ersetzt man a, b, c, «, ß, 7 
der Reihe nach durch 180° — x, 180° — ß, 180° — 7, 180° — a, 180° — &, 
180° — c. Daraus ergeben sich die Gleichungen: 
cos x + cos ß cos y = sin ß sin y-cos a 
cos ß + cos y-cos « = sin y-sin x - cos b 
COS Y + COS w - COS ß = sin «-sin ß - cos c. 
Diese Formeln werden als der Kosinussatz für die Winkel oder 
(wohl besser) als der zweite sphärische Kosinussatz bezeichnet. 
Die Gleichungen (10) — (18) stellen scheinbar eine große Zahl von Beziehungen 
zwischen den Seiten und Winkeln eines sphärischen Dreiecks dar. Nun sind drei 
Umfangsstücke willkürlich; die drei anderen ergeben sich bereits durch drei 
aleichungen. Demnach kommen alle diese Gleichungen auf drei voneinander un- 
abhängige Gleichungen hinaus. Es ist auch nicht schwierig, wie Gauß bewiesen 
nat (Werke Bd. IV S. 403), die Gleichungen (10), (12), (13) aus den Gleichungen 
11) durch bloße Rechnung herzuleiten. Sein Verfahren kommt im wesentlichen 
auf folgendes hinaus. Indem man aus den beiden ersten Gleichungen (11) cos b 
eliminiert und durch sin c dividiert, erhält man die Gleichung: 
co8 a : sin € = sin b - cos « }- sin a cos € - cos ß. 
In dieser Gleichung ersetzt man das Produkt sina-cose durch den Wert, 
der aus der in gleicher Weise gebildeten Gleichung: 
cos c-sina=sinb.cosy + cos a: sin c- cos ß 
hervorgeht, und erhält die Gleichung: 
(a) cos a + sin c - sin” ß = sin b- cos x + sin b + cos ß cos y. 
Die Vertauschung von b und ec, ß und y liefert die neue Gleichung: 
cos a - sin b- sin? y= sin c-. cos x -+ sin c-+cosß - cos y, 
deren Verbindung mit (a) auf die Gleichung führt: 
sin*c. sin? ß= sin? b- sin? . 
Da die Winkel d, c, ß, y sämtlich kleiner als zwei Rechte sind, muß sein: 
sin c - sin = sin b-- sing. 
Nun braucht man auf der linken Seite von (a) nur das Produkt sin e- sin ß 
lurch sin b-siny zu ersetzen und die neue Gleichung durch sin d zu dividieren, 
am die Beziehung zu erhalten: 
sin f.siny:Ccos a =C0os & + cos ß - cos 7. 
Die Herleitung kann in mancherlei Weise umgeändert werden. Wir ver- 
weisen speziell auf die einfache Rechnung, durch die Jacobsthal im zweiten 
Sande (S. 368) von Weber-Wellsteins „Enzyklopädie der Elementarmathematik“ 
aus den Gleichungen (11) die Gleichungen (10) und (13) herleitet. 
8, Geometrische Sätze, die aus den Grundformeln der 
sphärischen Trigonometrie hervorgehen. Durch die Formeln (10) 
bis (13) werden manche Eigenschaften des sphärischen Dreiecks aus-